ТЕМА № 2. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Понятие о системе счисления. Запись чисел в позиционных системах. Операции над целыми неотрицательными числами в позиционной системе счисления.

Литература: [1] с. 271-288, [2] с. 143-145, [3] с. 129-149, [4] с. 66-69, [5] с. 136-142, [6] с.122-126, [7] с. 136-156.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(задания I уровня)

1А. Среди следующих сумм найдите краткую запись числа 70025₈:

а) 710⁴ + 210 + 5;

б) 710³ + 210² + 510;

в) 78⁴ + 28 + 5;

г) 78² + 28 + 5.

1Б. Замените суммы краткой записью числа:

а) 610² + 510 + 1; б) 34³ + 24; в) 12⁶ + 12⁴ + 1.

2А. Среди следующих сумм найдите краткую запись числа 100111₂:

а) 110³ + 110² + 110;

б) 12⁵ + 110⁴ + 110³ + 1;

в) 12⁵ + 12³ + 12² + 12;

г) 12⁵ + 12² + 12 + 1.

2Б. Замените суммы краткой записью числа:

а) 35² + 15 + 2; б) 78⁴ + 68³ + 4; в) 23⁴ + 13² + 2.

3А. Среди следующих сумм найдите краткую запись числа 121022₃:

а) 110⁶ + 210⁵ + 110⁴ + 210³ + 210;

б) 13⁶ + 23⁵ + 13⁴ + 23² + 23;

в) 13⁵ + 23⁴ + 13³ + 23 + 2;

г) 110⁵ + 210⁴ + 110³ + 210 + 2.

3Б. Замените суммы краткой записью числа:

а) 38² + 78 + 4; б) 12⁵ + 12³ + 1 2 + 1; в) 35⁴ + 25³ + 4.

4А. Среди следующих сумм найдите краткую запись числа 210331₄:

а) 210⁵ + 110⁴ + 310³ + 310² + 110;

б) 24⁵ + 24⁴ + 34³ + 34² + 14;

в) 24⁵ + 24⁴ + 34² + 34 + 1;

г) 210⁵ + 210⁴ + 310² + 310 + 1.

4Б. Замените суммы краткой записью числа:

а) 37² + 57 + 2; б) 24⁵ + 14⁴ + 34³ + 34² + 1; в) 46⁵.

5А. Среди следующих сумм найдите краткую запись числа 42310₅:

а) 410⁴ + 210³ + 310² + 110¹;

б) 45⁴ + 24³ + 34² + 110;

в) 45³ + 210² + 35 + 1;

г) 45⁴ + 25³ + 35² + 15.

5Б. Замените суммы краткой записью числа:

а) 23⁵ + 13³ + 23 + 1; б) 45⁶ + 25³ + 5; в) 79⁶.

0А. Среди следующих сумм найдите краткую запись числа 16503₇:

а) 17⁴ + 67³ + 57² + 3;

б) 17⁴ + 67³ + 57² + 37;

в) 110⁴ + 610³ + 510² + 3;

г) 110³ + 610² + 510 + 3.

Решение:

16503₇ = 1 · 7⁴ + 6 · 7³ + 5 · 7² + 0 · 7 + 3 = 1 · 7⁴ + 6 · 7³ + 5 · 7² + 3, поэтому а) – верно; б) – не верно; в) и г) также не верно, т.к. число записано в системе счисления с основанием р = 7.

0Б. Замените суммы краткой записью числа:

а) 510² + 2 ; б) 39⁴ + 69² + 19 + 7; в) 12⁶ + 12⁴ + 12.

Решение:

а) 510² + 2 = 502

б) 39⁴ + 69² + 19 + 7 = 30617₉

в) 12⁶ + 12⁴ + 12 = 1010010₂

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(задания II уровня)

1А. Верно ли, что в числе 25760 всего:

а) 25 тысяч; б) 7 сотен; в) 257 сотен; г) 2576 десятков; д) 6 десятков?

1Б. Запишите число, в котором: а) 56 миллионов и 23 десятка; б) 32 тысячи и 364 единицы; в) 605 десятков тысяч, 32 сотни и 24 единицы.

2А. Верно ли, что в числе 362100 всего:

а) 36 тысяч; б) 362 тысячи; в) 36 десятков тысяч; г) 100 единиц; д) 3621 сотня?

2Б. Запишите число, в котором: а) 179 сотен тысяч и 22 десятка; б) 41 десяток тысяч и 88 десятков; в) 55 тысяч и 714 единиц.

3А. Верно ли, что в числе 197324 всего:

а) 197 тысяч; б) 1973 сотни; в) 324 единицы; г) 19732 десятка; д) 19 десятков тысяч?

3Б. Запишите число, в котором: а) 21 сотня тысяч и 996 десятков; б) 42 миллиона, 302 десятка тысяч и 17 единиц; в) 825 сотен тысяч.

4А. Верно ли, что в числе 76809 всего:

а) 768 десятков; б) 7680 десятков; в) 76 тысяч; г) 768 сотен; д) 76809 единиц?

4Б. Запишите число, в котором: а) 506 сотен тысяч; б) 23 десятка миллионов, 825 сотен и 31 единицы; в) 101 тысяча и 332 сотни.

5А. Верно ли, что в числе 2170302 всего:

а) 21 сотня тысяч; б) 217 десятков тысяч; в) 170 тысяч; г) 21703 сотни; д) 2170 тысяч?

5Б. Запишите число, в котором: а) 178 десятков миллионов; б) 34 десятка тысяч, 42 десятка и 815 единиц; в) 75 сотен и 382 десятка.

0А. Верно ли, что в числе 3006158 всего:

а) 3 миллиона; б) 6 тысяч; в) 3006 тысяч; г) 30061 сотня; д) 615 десятков?

Решение:

а) верно;

б) нет, не верно, т.к. чтобы узнать, сколько в числе тысяч, нужно закрыть последние три цифры, полученное число и есть число тысяч в данном числе;

в) верно;

г) верно;

д) нет (объяснение аналогично пункту б).

0Б. Запишите число, в котором: а) 24 миллиона и 605 сотен; б) 87 десятков тысяч, 90 сотен и 814 единиц; в) 506 десятков миллионов.

Решение:

а) 24060500;

б) 879814;

в) 5060000000.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(задания III уровня)

1А. Переведите числа: а) 7542₈, 111011₂ в десятичную систему счисления; б) 12937 в систему счисления с основанием р=7; р=3.

1Б. Найдите сумму и разность чисел, а затем выполните проверку с использованием десятичной системы счисления: 1543₆ и 245₆.

2А. Переведите числа: а) 232010₄, 654321₇ в десятичную систему счисления; б) 43728 в систему счисления с основанием р=6; р=4.

2Б. Найдите сумму и разность чисел, а затем выполните проверку с использованием десятичной системы счисления: 426₈ и 352₈.

3А. Переведите числа: а) 432001₅, 210022₃ в десятичную систему счисления; б) 17931 в систему счисления с основанием р=7; р=5.

3Б. Найдите сумму и разность чисел, а затем выполните проверку с использованием десятичной системы счисления: 1020₇ и 534₇.

4А. Переведите числа: а) 10101100₂, 25118₉ в десятичную систему счисления; б) 6122 в систему счисления с основанием р=2; р=4.

4Б. Найдите сумму и разность чисел, а затем выполните проверку с использованием десятичной системы счисления: 1010₂ и 111₂.

5А. Переведите числа: а) 710062₈, 13122₄ в десятичную систему счисления; б) 7432 в систему счисления с основанием р=3; р=7.

5Б. Найдите сумму и разность чисел, а затем выполните проверку с использованием десятичной системы счисления: 423₅ и 344₅.

0А. Переведите числа: а) 26133₇, 12011₃ в десятичную систему счисления; б) 26104 в систему счисления с основанием р=2; р=8.

Решение:

а) 26133₇ = 27⁴ + 67³ + 17² + 37 + 3 = 4802 + 2058 + 49 +
+ 21 + 3 = 6933

12011₃ = 13⁴ + 23³ + 03² + 13 + 1 = 81 + 54 + 3 + 1 = 139

Ответ: 26133₇ = 6933; 12011₃ = 139

б)

26104=110010111111000₂

26104=62770₈

Ответ: 26104=110010111111000₂

26104=62770₈

0Б. Найдите сумму и разность чисел, а затем выполните проверку с использованием десятичной системы счисления: 736₈ и 252₈.

Решение:

+	736₈	–	736₈
252₈	252₈
1210₈	464₈

Для проверки переведем числа из восьмеричной системы счисления в десятичную. Для этого запишем числа 7368 и 2528 в виде суммы разрядных слагаемых и выполним арифметические действия в десятичной системе счисления.

736₈ = 78² + 38¹ + 68⁰ = 448 + 24 = 478

252₈ = 28² + 58¹ + 28⁰ = 128 + 40 + 2 = 170

+			–

Переведем числа 648 и 308 из десятичной системы счисления в восьмеричную.

648 = 1210₈ 308 = 464₈

Ответ: 1210₈; 464₈.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(задания IV уровня)

1А. Найдите значение выражения: 23213₅ : 32₅ – 113₅.

1Б. Решите уравнение: 122_х + 201_х = 36.

2А. Найдите значение выражения: 132₆47₆ + 2451₆.

2Б. Решите уравнение: 322_х + 231_х = 103.

3А. Найдите значение выражения: (1472₇ –513₇)413₇.

3Б. Решите уравнение: 212_х – 101_х = 13.

4А. Найдите значение выражения: (132₄ + 212₄) 13₄.

4Б. Решите уравнение: 45_х 23_х = 561.

5А. Найдите значение выражения: 731₈ : 13₈ + 611₈.

5Б. Решите уравнение: 43_х : 13_х = 3.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

(задания V уровня)

1А. Найдите значение выражения: 11₂11₂+12₅13₅.

1Б. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Если к каждой цифре прибавить 2, то получится число, которое на 3 меньше удвоенного первоначального числа. Найдите это число.

2А. Найдите значение выражения: 731₈ : 13₈+113₅3₅.

2Б. Двузначное число, деленное на сумму его цифр, дает в частном 4 и в остатке 3. Если переставить цифры в этом числе, то получим число, на 5 больше, чем увеличенная в 6 раз сумма его цифр. Найдите это число.

3А. Найдите значение выражения: 2134₅ : 12₅+57₈37₈.

3Б. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

4А. Найдите значение выражения: 121₃22₃– 25₆13₆.

4Б. Найдите двузначное число по следующим условиям: частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 8; частное от деления на ту же сумму произведения его цифр равно .

5А. Найдите значение выражения: 76₈64₈ – 23213₆ : 326₆.

5Б. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 10, а произведение искомого числа на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно 403. Найдите число.