ТЕМА № 4. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Понятие дроби. Сложение и вычитание положительных рациональных чисел. Умножение и деление рациональных чисел. Десятичные дроби и операции над ними. Понятие процента. Бесконечные десятичные дроби. Положительные действительные числа.
Литература: [1] с. 308-330, 335-339, [2] с. 148-152, [3] с. 180-228, [4] с. 82-89, [5] с. 152-165, [6] с.142-148.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания I уровня)
1А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) =
; б)
>
; в)
+
=
.
1Б. Верно ли, что:
а) 0,007 = 0,00 (7); б) 1,83 > 1,8; в) 1,(6) = 1 .
2А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) =
; б)
>
; в)
+
=
.
2Б. Верно ли, что:
а) 0,0612 = 0,06 (12); б) 1,05 > 1,1; в) 2,1 (25) = 2 .
3А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) =
; б)
<
; в) 1 –
=
.
3Б. Верно ли, что:
а) 0,09 = 0,0 (8); б) 21, (7) < 21,7; в) 2,8 (4) = 2 .
4А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) =
; б)
>
; в)
–
=
.
4Б. Верно ли, что:
а) 71,008 = 71,0 (08); б) 33,1 > 33, (1); в) 2, (3519) = 2 .
5А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) =
; б)
<
; в) 3
– 3
=
.
5Б. Верно ли, что:
а) 0,1375 = 0,1375 (0); б) 1,17 > 1,170; в) 8,291 (6) = 8 .
0А. Укажите значения истинности следующих высказываний:
а) =
; б)
<
; в) 1
–
=
.
Решение:
а) НОК (7; 11) = 77, значит числа и
можно привести к общему знаменателю 77:
=
=
;
=
=
;
>
, т.е.
>
- истинное высказывание, значит
=
- ложное высказывание.
б) | 8 | 2 | 12 | 2 | 8 = 23; 12 = 22 · 3; | |
4 | 2 | 6 | 2 | |||
2 | 2 | 3 | 3 | |||
1 | 1 |
НОК (8;12) = 23 · 3 = 24. Числа 8 и 12 можно привести к общему знаменателю 24:
=
=
;
=
=
;
>
;
>
,
значит, <
- истинно.
в) –
=
–
= (1 – 1) + (
–
) = 0 +
=
,
т. е. –
=
- истинно.
0Б. Верно ли, что:
а) 3,87 (5) = 3,87 (50); б) 23,05 < 23, (05); в) 7,91 (6) = 7 .
Решение:
а) Для проверки истинности записанного равенства переведем дроби в обыкновенные.
Чтобы смешанную периодическую дробь перевести в обыкновенную, нужно в числителе записать разность между числом, записанным цифрами, стоящими до второго периода, и числом, записанным цифрами предпериода. В знаменателе записываем число, состоящее из стольких 9, сколько цифр в периоде, и стольких 0, сколько цифр в предпериоде.
3,87 (5) = 3 + =
; 3,87 (50) = 3 +
=
;
.
Ответ: 3,87 (5) 3,87 (50).
б) Для проверки истинности неравенства переведем дроби в обыкновенные: 23,05 = .
Чтобы чистую периодическую дробь перевести в обыкновенную, необходимо в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменателе – столько 9, сколько цифр в периоде. 23,05 =
Сравниваем дроби и
Так как целые части равны, сравниваем дробные: и
;
<
(т.к. 1 · 99 < 5 · 20);
<
Ответ: 23,05 < 23, (05).
в) Переведем десятичную дробь 7,91(6) в обыкновенную:
7,91(6) = 7 + =
=
;
Значит, 7,91(6) = - верно.
Ответ: 7,91(6) = .
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания II уровня)
1А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 0,125; б) 0,0(3); в) 6,(435).
1Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
А={ ; 1,666…; 2
; 1,521131313…;
;
; 5,1234167…, 0,27000…; 6,000…; 2,313133313…}
2А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 9,126; б) 2,(2519); в) 2,1(3).
2Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
В={5,111…; 2,311331133113…; ;
;
; 3,000…; 1
; 0,1231757…;
}.
3А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 43,375; б) 0,1(2); в) 0,(571428).
3Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
С={7,(5); ; 0,75; 5,666…;
;
;
; 1,7121314…; 0,(83)}.
4А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 0,1375; б) 0,(31); в) 4,6(3).
4Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
Д={ ; 4,(2); 7,00…;
; 0,2(34); П;
;
;
; 0,121314…}
5А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 3,075; б) 0,2(35); в) 17,(22).
5Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
Е={ ;
; 2,1(3); 45
;
; 11,1212…; 25,(2); 71,1444…}.
0А. Представьте десятичные дроби в виде обыкновенной:
а) 7,001; б) 0,5(8); в) 6,(12).
Решение:
а) 7,001 = ;
б) Для того, чтобы смешанную периодическую дробь перевести в обыкновенную, нужно в числителе записать разность между числом, записанным цифрами, стоящими до второго периода, и числом, записанным цифрами предпериода. В знаменателе записывают число, стоящее из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр в предпериоде.
0,5(8) = =
;
в) Чтобы чистую периодическую дробь перевести в обыкновенную, необходимо в числителе записать число, образованное цифрами периода, а в знаменателе – столько 9, сколько цифр в периоде.
6,(12) = 6 = 6
.
0Б. Для данного множества запишите подмножества, состоящие из: а) рациональных чисел; б) иррациональных чисел; в) целых чисел.
F={ ;
; 46,(3); 7,21(35);
;
; 47,2(571); 2,1234567…}.
Решение:
а) ; 46,(3); 7,21(35);
;
; 47,2(571) – элементы множества рациональных чисел Q;
б) ; 2,1234567…– элементы множества иррациональных чисел I;
в) ;
– элементы множества целых чисел Z.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания III уровня)
1А. Найдите значение выражения: .
1Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий: (2 – (1
– (х –
))) + 3
=5.
2А. Найдите значение выражения: (1,6 – 2 .
2Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий: 1 + (2
– ((
+ х) + 1)) = 2
.
3А. Найдите значение выражения:
(22 – 21
) × 1
+ 1
(6,3 – 3
).
3Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
12 – (30 – 19 : (2
–
х)) ×
= 3.
4А. Найдите значение выражения: 1 × 4 – (8,9 – 2,6 :
) + 12
.
4Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
(3,28 – (–1,52)) : х + (–1,3)) × (–0,04) = –0,148.
5А. Найдите значение выражения: (0,8 – ) : 2
– (
– 0,25) : 2
.
5Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
3 : ((2
х + 4
) : 21
) – 1
= 5
.
0А. Найдите значение выражения: .
Решение:
1) 8,3 · 1,2 = 9,96;
2) 9,96 + 4,2 = 14,16;
3) 3 ;
4) ;
5) ;
6) 14,16 : .
Ответ: 42,48.
0Б. Решите уравнение, используя зависимость между результатами и компонентами арифметических действий:
Решение:
66 : (5 + 3
: (1
–
х)) – 7
=
;
66 : (5 + 3
: (1
–
х)) =
+ 7
;
66 : (5 + 3
: (1
–
х)) = 7
;
5 + 3 : (1
–
х) = 66
: 7
;
5 + 3 : (1
–
х) =
;
3 : (1
–
х) =
– 5;
3 : (1
–
х) =
;
1 –
х = 3
:
;
1 –
х =
;
х = 1
–
;
х =
;
х = :
=
.
Ответ: .
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания IV уровня)
1. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
=1
.
2. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
=1
.
3. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
=
.
4. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
2 +
+1
= 5.
5. Решите уравнение на основе зависимости между компонентами и результатами арифметических действий:
=
.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА (задания V уровня)
1. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) На сколько процентов повысился дневной заработок рабочего, если вместо 90000 рублей он стал получать 140000 рублей?
б) На складе находится 150 ц гречневой и пшеничной круп. Сколько раз нужно взять гречневой крупы по 3,75 ц, а пшеничной по 2,625 ц, чтобы гречневой осталось в 1,45 раза меньше чем пшеничной?
2. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) На сколько процентов повысился почасовой заработок рабочих при переходе от 8-часового к 7-часовому рабочему дню без изменения дневного заработка?
б) Каждый их трех рабочих должен выполнить одну и ту же работу. Первый и второй вместе порученную им работу выполняют за 12 часов; второй и третий вместе за 13 часа; первый и третий вместе за 10
часа. За какое время каждый рабочий выполнит всю работу?
3. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) За неделю завод выпустил 588000 подшипников вместо 510000 по плану. На сколько процентов перевыполнен план?
б) Расстояние между городами 150 км. В 9 часов утра из одного города в другой выехал первый велосипедист, а в 10,2 часа того же утра навстречу ему из другого города выехал второй велосипедист, который в час проезжал на 2,5 км меньше первого велосипедиста и встретился с ним в три часа дня. С какой скоростью ехал каждый велосипедист?
4. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) При высыхании трава теряет 28% своей массы. Сколько было скошено травы, если получено 144 ц сена?
б) Когда один из друзей потратил , а другой
своих денег, то у обоих осталось поровну. Сколько денег было бы у каждого, если у первого было на 23000000
рублей больше, чем у второго?
5. Решите задачи по действиям, либо с помощью уравнения или системы уравнений:
а) На товар стоимостью 1120000 рублей за центнер снизили цену сначала на 8%, а через некоторое время понизили цену еще на 8 %. Какова стоимость товара и какой она была бы, если бы цену понизили сразу на 16%?
б) Смешано три вида сухих ягод: 9 кг первого вида, 11 кг второго и 90 кг третьего. Сколько стоит 1 кг ягод каждого вида, если вся смесь стоит 355000 рублей и 1 кг ягод первого вида дороже 1 кг ягод второго на 3000 рублей, а 1 кг второго вида дороже 1 кг ягод третьего на 5000 рублей?