Список практических заданий

1. Построить таблицы соответствующих функций, выяснить, эквивалентны ли формулы и :

1) , ;

2) ,

3) , ;

4) , ;

5) , ;

2. Построив таблицу для соответствующих функций, убедитесь в справедливости следующих эквивалентностей:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

3. Представить в СДНФ следующие функции:

1) ;

4. Представить в СКНФ следующие функции:

4. С помощью эквивалентных преобразований построить ДНФ функции

5. Используя эквивалентные преобразования, построить КНФ функции :

2) ;

6. Используя дистрибутивный закон и эквивалентности и перейти от заданной КНФ функции к ДНФ:

7. Представив функцию формулой над множеством связок {&, }, преобразуйте полученную формулу в полином Жегалкина функции (используя эквивалентности ):

3).

Вопросы для обсуждения на форуме

1. Булева алгебра как средство представления данных.

2. Алгебра Жегалкина как эквивалент булевой алгебры.

Список дополнительной литературы:

1. Алехина М.А. Математическая логика: Учеб. пособие. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1996 (80 экз).— 66 с.

2. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 240 с.

3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2003 (20 экз). – 256 с.

4. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях \Г.И. Москинова. – М.: Логос. 2000. – 240с.

Семинар №4. Нечеткая логика

Цель семинара:

Рассмотреть на практике применение нечеткой логики при принятии управленческих решений.

План занятия:

Рассматриваются темы, посвященные нечеткой логике и нечетким моделям управления. На семинар выделяется 2 часа в связи с тем, что рассматриваются общие вопросы нечетких множеств.

Задача 1.Имеется наливная емкость (бак) с непрерывным управляемым притоком жидкости и непрерывным неуправляемым расходом жидкости. Построить нечеткую систему, которая поддерживала бы постоянный уровень жидкости в баке.

Решение.

База правил системы нечеткого вывода, соответствующая знаниям эксперта о том, какой необходимо выбрать приток жидкости, чтобы уровень жидкости в баке оставался средним, будет выглядеть следующим образом:

ПРАВИЛО <1>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой» ТО «приток жидкости большой»;

ПРАВИЛО <2>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний» ТО «приток жидкости большой»;

ПРАВИЛО <3>: ЕСЛИ «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый» ТО «приток жидкости средний»;

ПРАВИЛО <4>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой» ТО «приток жидкости большой»;

ПРАВИЛО <5>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний» ТО «приток жидкости средний»;

ПРАВИЛО <6>: ЕСЛИ «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый» ТО «приток жидкости средний»;

ПРАВИЛО <7>:ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости большой» ТО «приток жидкости средний»;

ПРАВИЛО <8>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний» ТО «приток жидкости малый»;

ПРАВИЛО <9>: ЕСЛИ «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый» ТО «приток жидкости малый».

Используя обозначения ZP – «малый», PM – «средний», PB – «большой», данную базу нечетких продукционных правил можно представить в виде таблицы 4.1, в узлах которой находятся соответствующие заключения о требуемом притоке жидкости:

Таблица 4.1. База нечетких продукционных правил

Для получения логического вывода необходимо пройти несколько этапов.

1. Фаззификация (введение нечеткости). Формализация описания уровня жидкости в баке и расхода жидкости проведена при помощи лингвистических переменных, в кортеже которых содержится по три нечетких переменных, соответствующих понятиям малого, среднего и большого значения соответствующих физических величин (рис. 4.1), функции принадлежности которых представлены ниже.

Рис. 4.1. Функции принадлежностей кортежей лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого уровня и расхода жидкости соответственно

Если текущие уровень и расход жидкости 2,5м и 0,4м³/сек соответственно, то степени истинности элементарных нечетких высказываний:

· «уровень жидкости малый» - 0,75;

· «уровень жидкости средний» - 0,25;

· «уровень жидкости большой» - 0,00;

· «расход жидкости малый» - 0,00;

· «расход жидкости средний» - 0,50;

· «расход жидкости большой» - 1,00.

2. Агрегирование (процедура определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода). С учетом полученных в результате фаззификации значений истинности элементарных высказываний, степень истинности условий для каждого составного правила системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в баке, в соответствии с определением по Заде нечеткого логического «И» двух элементарных высказываний , будет следующей:

ПРАВИЛО <1>: антецедент - «уровень жидкости малый» И «расход жидкости большой»; степень истинности антецедента min{0.75;1.00}=0.75.

ПРАВИЛО <2>: антецедент - «уровень жидкости малый» И «расход жидкости средний»; степень истинности антецедента min{0.75;0.50}=0.50.

ПРАВИЛО <3>: антецедент - «уровень жидкости малый» И «расход жидкости малый», степень истинности антецедента min{0.75;0.00}=0.00.

ПРАВИЛО <4>: антецедент - «уровень жидкости средний» И «расход жидкости большой», степень истинности антецедента min{0.25;1.00}=0.25.

ПРАВИЛО <5>: антецедент - «уровень жидкости средний» И «расход жидкости средний», степень истинности антецедента min{0.25;0.50}=0.50.

ПРАВИЛО <6>: антецедент - «уровень жидкости средний» И «расход жидкости малый», степень истинности антецедента min{0.25;0.00}=0.00.

ПРАВИЛО <7>: антецедент - «уровень жидкости большой» И «расход

жидкости большой», степень истинности антецедента min{0.00;1.00}=0.00.

ПРАВИЛО <8>: антецедент - «уровень жидкости большой» И «расход жидкости средний», степень истинности антецедента min{0.00;0.50}=0.00 .

ПРАВИЛО <9>: антецедент - «уровень жидкости большой» И «расход жидкости малый», степень истинности антецедента min{0.00;0.00}=0.00.

3. Активизация(процедура формирования функций принадлежности m(y) консеквентов каждого их продукционных правил). Функции принадлежности всех подзаключений при min активизации продукционных правил системы нечеткого управления уровнем жидкости в баке будут выглядеть следующим образом (рис. 4.2).

Рис. 4.2.Функция принадлежностей кортежа лингвистических переменных, соответствующих нечетким понятиям малого, среднего, большого притока жидкости в бак и min-активизация всех подзаключений правил нечеткой продукции системы управления уровнем жидкости в баке

4.Аккумуляция (процесс нахождения функции принадлежности выходной лингвистической переменной). Для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости, функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости», полученная в результате аккумуляции всех подзаключений при max-объединении будет выглядеть следующим образом (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Функция принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости»

5. Дефаззификация (процесс перехода от функции принадлежности выходной лингвистической переменной к её четкому (числовому) значению). Для продукционных правил системы нечеткого вывода по управлению уровнем жидкости в емкости посредством изменения притока жидкости дефаззификация функции принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости» приводит к следующим результатам (рис. 4.4):

· метод центра тяжести = 41375 , 0 ~ 3 ;

· метод центра площади = 9525 , 0 ~ 3 ;

· метод левого модального значения 2 , 0 ~ 3 ;

· метод правого модального значения 5 , 0 ~ 3 .

Рис. 4.4. Графическое представление результатов функции принадлежности лингвистической переменной «приток жидкости»

Таким образом, при исходных данных рациональная скорость притока жидкости составляет 3 .