Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Пользуясь определением числовой последовательности, докажите, что:
1) 2)
3) 4)
1.2. Вычислите предел:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) ; 10)
.
11) 12)
II уровень
2.1. Вычислите предел:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
15) 16)
17) 18)
19) 20)
2.2. Докажите, что последовательность не имеет предела:
1) 2)
III уровень
3.1. Задана последовательность
Найдите
. Определите, каким должно быть
для того, чтобы разность между
и ее пределом по абсолютной величине не превзошла
?
3.2. Вычислите предел последовательности:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
3.3. Найдите предел последовательности:
1) если
2) , если
.
3.4. Вычислите предел числовой последовательности , заданной формулой общего члена при различных значениях параметров
.
1) ;
2) .
Предел функции
Рассмотрим функцию , определённую в некоторой окрестности точки
(в самой точке
данная функция может быть не определена).
Число А называется пределом функции в точке
(по Гейне),если для любой последовательности
, сходящейся к
, последовательность
соответствующих значений функции сходится к А.
Обозначается:
или
при
Если функция в точке
имеет предел, то он единственный.
Если функции и
имеют пределы в точке
, то справедливы формулы:
, где С=const; (3)
(4)
(5)
. (6)
Если непосредственное вычисление предела по формулам (3) – (6) приводят к неопределённости вида, , то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
, (7)
которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.
Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число называется пределом функции
при
(или
), если для всякой последовательности
,
(или
) при
последовательность
соответствующих значений функции сходится к числу
.
Обозначают:
.
Для предела функции на бесконечности также справедливы формулы (3) – (6).
Функция называется бесконечно малой функцией при
(или
), если
Функция называется бесконечно большой при
, если для всякой последовательности
,
при
,
( или
) последовательность соответствующих значений функции
является бесконечно большой.
Обозначают . (8)
Если – бесконечно большая функция при
, то она не имеет предела (предел – это число!), запись (8) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции
Пример1. Пользуясь определением предела функции по Гейне доказать, что
Решение. Пусть – произвольная последовательность, которая сходится к 3
, т.е.
Тогда
Пример 2. Вычислить пределы функций в точке:
1) 2)
3) .
Решение. 1. При непосредственном использовании формул (3) – (6) получаем неопределённость вида
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на общий множитель. Получим
.
2. Непосредственное вычисление приводит к неопределённости . Для раскрытия приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
.
Далее разлагаем числитель и знаменатель на множители. Получаем
.
3. Непосредственное вычисление предела при приводит к неопределённости
Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражений
и 2, чтобы в числителе получить разность кубов:
Поскольку неопределенность типа сохранилась, разложим многочлены на множители и сократим:
Переход к пределу при дает
.
Пример 3. С помощью вычислений определить является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при
.
1) ; 2)
Решение. 1. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо рассмотреть .
Непосредственное вычисление этого предела приводит к неопределенности типа . Вынесем в числителе и знаменателе старшее основание, т.е.
за скобки.
Так как показательная функция при
является убывающей, то при
получим:
.
Тогда согласно определению функция является бесконечно большой.
2. Вычислим
. При
выражение в скобках представляет собой разность двух бесконечно больших величин (
). Умножив и разделив функцию на выражение
, получим:
.
В результате преобразований возникла неопределенность типа , а поэтому разделим числитель и знаменатель на старшую степень, т.е. на
. Получим:
Следовательно, по определению функция является бесконечно малой.