Производная сложной функции

Если и – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции вычисляется по формуле

. (8)

Обобщенная таблица производных:

1) ,где ,

в частности

а) ,

б) ;

2) где ,

в частности

;

3) где ,

в частности

;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Если для функции существует обратная функция , которая имеет производную , то верна формула

. (9)

Пример 1:Найти производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6)

Решение. 1.Функцию необходимо рассматривать как сложную функцию, где и -- дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда согласно формуле (8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:

2. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (8) и обобщенную таблицу производных:

3.Рассмотрим функцию как , где – также сложная функция. Применив формулу (8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:

4.Пусть , тогда . Согласно формуле (8), получаем:

5.Рассмотрим функцию как , где .

Функцию можно представить в виде , где . Тогда:

6.Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Продифференцируем полученное выражение по формулам (3), (4), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных:

Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:

Пример 2. Вычислить , если .

Решение

Это сложная функция с промежуточным аргументом Дифференцируем её по формуле (8). При этом пользуемся первой формулой обобщенной таблицы производных при условии .

.

Вычислим значение производной при :

Пример 3.Вычислить , если

Решение

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:

.

Теперь продифференцируем выражение по формулам (3), (5), (8) и соответствующим формулам таблицы производных. Функцию рассмотрим как , где .

Теперь вычислим

и

Тогда

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Найдите производную функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) .

1.2. Найдите производную функции при данном значении аргумента:

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

1.3. Решите неравенство , где и .

II уровень

2.1. Вычислите , если

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;9) ;

10) 11)

12) 13)

14) .

2.2. Вычислите производную функции при заданном значении аргумента:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

2.3. Вычислите значение производной , предварительно упростив выражение:

1) 2)

3)

2.4. Вычислите производную функции, предварительно упростив выражение:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

2.4. Известно, что и . Найдите значение выражения где .

2.5. Найдите производную функции если .

2.6. Найдите производную функции если .

2.7. Докажите тождество:

а) если ;

б) если .

Ш уровень

3.1. Найдите производную функции:

1) ; 2) ;

3) ;

4) .

3.2. Найти производную функции, предварительно преобразовав выражение по тригонометрическим формулам:

1) ; 2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6) .

3.3. Дана функция Определите, чему равно значение выражения .

3.4. Даны функции и . Найдите количество значений на отрезке , для которых выполняется равенство .