Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) .

1.2. Упростите выражение:

1) ;

2) ;

3) .

1.3. Известно, что и . Найдите:

1) ; 2) .

1.4. Докажите, что при и , дробь – неправильная.

1.5. Разложите по формуле бинома Ньютона:

1) ; 2) ; 3) .

II уровень

2.1. Упростите выражение:

1) ;

2) .

2.2. Известно, что , найдите:

1) ; 2) .

2.3. Докажите, что

, при любых .

2.4. Разложите по формуле бинома Ньютона и упростите полученное выражение:

1) ; 2) ; 3) .

2.5. Вычислите:

1) ; 2) ; 3) .

III уровень

3.1. Определить знак выражения при а >1:

3.2. Сократите дробь:

1) ; 2)

3.3. Найдите значение выражения , если .

3.4. Вычислите значение выражения

при .

3.5. Докажите, что

при любых х; у.

3.6. Упростите выражение .

3.7. Найдите разность между коэффициентом и биноминальным коэффициентом при для выражения .

Многочлены. Действия над многочленами

Выражение вида

, (3)

где

называется многочленом n-ой степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.

Числа называются коэффициентами данного многочлена, – старшим коэффициентом, – свободным членом.

Если необходимо указать степень многочлена , то пишут .

Если , то называется приведенным многочленом.

Если кроме рассмотреть случай , то многочлен вида называется многочленом нулевой степени, он есть число.

Каждое слагаемое вида многочлена (3) называется одночленом.

Два многочлена, заданные в виде (3), называются равными, если равны все их коэффициенты при соответствующих степенях переменной х.

Для всякого многочлена и многочлена определены следующие операции:

1) Умножение на число :

;

2) Сложениемногочленов:

;

3. Умножениемногочленов производят по следующему правилу: каждый член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена и приводят подобные. и привести подобные.

4. Деление многочленов (при условии, что степень делителя меньше или равна степени делимого) выполняется по правилу «деления углом» (см. далее пример ).

Результат деления записывается в виде:

или

(4)

где – частное (многочлен), – остаток (степень остатка меньше степени делителя).

Многочлен делится нацело на , если или

.

Если , где , то результат деления многочлена на , согласно формуле (4), можно записать в виде равенства

, (5)

где R₀ – число.

Коэффициенты многочлена и остаток R₀в Равенстве (5) можно вычислить по схеме Горнера:

(6)

При вычислении коэффициентов (6) используют таблицу:

a_n a_n-1 a_n-2 . . . a₁ a₀

x₀ с_n-1 с_n-2 с_n-3 . . . с₀ R₀

Верхняя строка заполняется коэффициентами заданного многочлена (3), нижняя – числами, которые вычисляют по формулам (6).

Число , называется корнем многочлена , если .

Число называется корнем кратностиk многочлена , если

и .

Теорема 1. (Безу).

Число х₀ является корнем многочлена , тогда и только тогда, когда делится нацело на .

Теорема 2.

Число является остатком от деления многочлена на , тогда и только тогда, когда .

Теорема 3.

Пусть – приведенный многочлен с целыми коэффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся среди целых делителей свободного члена.

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (если это возможно) называется разложением на множители.

Общий вид разложения на множители:

,

где А, a₁; …; b₁; …; c₁; … R (const);

х₁; х₂; …; х_k – корни многочлена .

;

;

квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Основные методы разложения:

1) вынесения общего множителя за скобки;

2) метод группировки

– непосредственно;

– с предварительными преобразованиями слагаемых;

3) использование формул сокращенного умножения;

4) использование формул разложения квадратного трехчлена на множители

5) выделение полного квадрата и сведение к разности квадратов;

6) введение новой переменной;

7) поиск корней многочлена среди делителей свободного члена, использование теоремы Безу.

Многочлен может зависеть не только от одной переменной, но и от двух ; трех и т.д. Данные многочлены называются многочленами от нескольких переменных. Тогда их одночленом называют выражение, представляющее собой произведение чисел и переменных в некоторых степенях. Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Старшая степень многочлена нескольких переменных определяется старшей степенью его одночлена.

Многочлен от двух переменных называется симметрическим, если при замене переменных x на у и у на x выражение не меняется.

Над многочленами от нескольких переменных можно выполнять действия, аналогичные действиям над многочленами от одной переменной. Для разложения данных многочленов на множители применяются те же методы, что и для многочленов от одной переменной.

Пример 1.Представить многочлен в стандартном виде, определить его степень:

1) ; 2) .

Решение.

Раскроем скобки и приведем подобные:

.

Данный многочлен является многочленом 2-й степени относительно х.

2. Умножим многочлен на одночлен

.

Приведем подобные и получаем многочлен

,

который является многочленом -й степени от двух переменных х, у (наибольшее суммарное значение показателей имеем в первом одночлене: ).

Пример 2. Найти частное и остаток от деления многочлена на многочлен . Результат деления записать в виде равенства.

Решение.

Воспользуемся правилом «деления углом»:

Получаем:

– частное (целая часть);

– остаток (многочлен первой степени).

Тогда

.

Пример 3. Проверить, делится ли многочлен нацело на .Если нет, то найти значение остатка (не выполняя деления).

Решение.

У данного многочлена свободный член есть число . Поскольку число 5 не является делителем числа , то – не является корнем многочлена (см. теорему 3). Значит, согласно теореме 1, не разделится нацело на .

Остаток находим по теореме ??????????

.

Пример 4. Разложить многочлен на множители:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) .

Решение.

1. Используем метод вынесения общего множителя за скобки:

.

Поскольку у квадратного трехчлена , то получен ответ.

2. Воспользуемся методом группировки:

Для дальнейшего разложения выделим полный квадрат и сведем к разности квадратов:

.

Поскольку дискриминанты квадратных трехчленов отрицательны, окончательно получаем разложение

.

3. Вначале преобразуем данное выражение, а затем используем метод группировки и формулу разности квадратов

Вычисляем корни полученного квадратного трехчлена

.

Поэтому

4. Вынесем общий множитель за скобки и воспользуемся формулой разности кубов:

.

Получили искомое разложение.

5. Для многочлена запишем целые делители свободного члена: (см. теорему 3).

Подставим данные значения вместо , убеждаемся, что является корнем, т.к. .

Разделим заданный многочлен на :

Получаем .

Для многочлена выполним аналогичные действия.

Проверкой делителей свободного члена находим корень 2.

Делим:

Тогда

Квадратный трехчлен разлагаем на множители, используя формулы корней.

Окончательно получаем: .

6. Для многочлена найдем целый корень среди делителей свободного члена . Это число . Для дальнейшего разложения воспользуемся схемой Горнера:

х³ х² х¹ х⁰

х+1

-1

х² х¹ х⁰

Таким образом, . Квадратный трехчлен имеет корни и , а потому окончательно получаем:

.

7. Для разложения многочлена воспользуемся методом введения новой переменной. Пусть . Тогда имеем . Корни этого многочлена – числа и . Поэтому . Возвращаясь к старой переменной, имеем

.

Пример 5. Найти a и b из заданного равенства и доказать, что a+b=0

.

Решение.

Приведем правую часть заданного равенства к общему знаменателю:

или

.

Поскольку знаменатели дробей равны, приравняем числители и сгруппируем в правой части коэффициенты при х. Многочлен в правой части запишем в стандартном виде.

.

Из определения равенства многочленов получаем систему и решаем ее:

Находим сумму

.

Доказательство завершено.