Векторы и простейшие действия над ними

Векторы и аналитическая геометрия на плоскости

Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка .

Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или , ….

Различают векторы связанные (закрепленные), то есть с фиксированным началом, и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.

Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными (обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными (обозначение: ).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: . При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.

Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается . Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.

Пусть заданы два ненулевых вектора . Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы . Под углом между векторами и понимают наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.

Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов .

Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) | | = || | |;

2) , если > 0,

, если < 0,

= , если = 0 или = .

Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора , их суммой является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы: .

Рис. 1

Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор , который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 2).

Рис. 2

Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу ломаной (замыкающей). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

Рис. 3

Свойства линейных операций над векторами:

1) коммутативность сложения векторов, т. е.

;

2) ассоциативность сложения векторов, т. е.

;

3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число , т. е.

;

дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.

;

4) ;

5) ;

6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.

.

Вектор называется противоположным вектору .

Разностью векторов и называется вектор

Для того чтобы найти разность , необходимо: привести векторы и к общему началу. Тогда разностью является вектор, у которого начало совпадает с концом вектора , а конец - с началом вектора (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , которые приведены к общему началу (рис. 5): ,

Рис. 5

Вектор называется ортом (единичным вектором) вектора , если и . Для его нахождения может быть использована формула

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют числа такие, что

, .

Говорят, что точка C делит вектор в отношении ( > 0), если = .

Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число

Скалярное произведение обозначается также .

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .

Скалярным квадратом вектора называется величина

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть

Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой

Свойства скалярного произведения:

1) – коммутативность;

2) –дистрибутивность;

3) ;

4) тогда и только тогда, когда ;

5) тогда и только тогда, когда ,

тогда и только тогда, когда

7) .

Пример 1. По заданным трем векторам (рис. 6(а)) изобразить их линейную комбинацию .

Рис. 6 (а)

Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор (рис. 6(б)). Затем от конца вектора отложим вектор и, наконец, вектор , исходящий из концевой точки вектора . Искомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.

Рис. 6 (б)

Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и .

Решение. 1-й способ. Пусть для определенности . Тогда . Рассмотрим векторы и с общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов, вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Поскольку , то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторами и . Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором .

Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и

2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы и построим на них ромб, диагональ которого совпадает с направлением биссектрисы угла между векторами а значит, между и .

Пример 3. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно . Полагая выразить через и векторы

Решение.Проведем диагоналиAC и BD (рис. 7). Пусть О – точка их пересечения.

Рис. 7

Тогда из подобия треугольников AOD и COB и условия следует, что Имеем

Аналогично

Тогда

Пример 4. Найти угол, образованный единичными векторами и , если , причем

Решение. Найдем скалярное произведение

Из условия следует , т. е.

Учитывая, что имеем

Значит,

Из последнего соотношения получаем

Пример 5. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах и угол между которыми 60⁰, причем

Решение. По определению линейных операций над векторами, диагонали параллелограмма, построенного на векторах , равны соответственно Так как то имеем следующее: