Приложения определенного интеграла

Вычисление площади плоской фигуры

Площадь фигуры в декартовой системе координат

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью , сбоку – прямыми и , называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Умножим значение функции на длину соответствующего частичного отрезка. Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры, которая приближенно равна площади криволинейной трапеции:

С уменьшением всех длин точность приближения ступенчатой фигуры к криволинейной трапеции и точность полученной формулы увеличивается. За точность значения площади криволинейной трапеции принимается предел , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда неограниченно возрастает так, что : .

А как было выведено выше

Таким образом, если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой двумя прямыми и и отрезком оси абсцисс , определяется формулой

. (1.1)

Если функция непрерывна и неположительная на отрезке , то функция является неотрицательной на отрезке . Тогда

Так как в силу симметрии площади криволинейных трапеций, находящихся под осью и над осью , равны, то в случае неположительной функции интеграл равен значению площади криволинейной с точностью до знака.

Пример 1.1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение. Строим графики заданных линий.

- график парабола, вершина которой находится в точке , точки пересечения с осями координат: - с осью и - с осью .

- график прямая, которую строим по двум точкам.

Находим абсциссы точек пересечения кривых. Решаем систему уравнений

Тогда

(кв.ед.).

Площадь фигуры в полярной системе координат

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами, соответствующие значениям и полярного угла выражается формулой:

. (1.4)

Пример 1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Решение. Запишем уравнение кривой в полярной системе координат. Получим:

- лемниската Бернулли.

, . Тогда

Следовательно, .

Площадь фигуры, заданной параметрическими уравнениями

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрическими уравнениями и , то площадь криволинейной трапеции находится по следующей формуле