Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормально розподілених генеральних сукупностей.

На практиці задача про перевірку гіпотези про рівність двох диспер­сій виникає досить часто; наприклад, при порівнянні точності приладів, самих методів вимірювань, під час аналізу стабільності виробничого процесу до і після введення нової технології, вивчення ступеня однорідності двох сукупностей щодо деякої ознаки. Потреба перевірити рівність дисперсій виникає під час порівняння середніх величин сукупностей.

Отже, нехай генеральні сукупності ознак і розподілені нормально. За двома незалежними вибірками обсягу і з кожної генеральної сукупності обчислені виправлені вибіркові дисперсії відповідно. Потрібно при даному рівні значущості перевірити основну гіпотезу про рівність генеральних дисперсій: . Або враховуючи, що виправлені вибіркові дисперсії є незміщеними точковими оцінками генеральних дисперсій та , основну гіпотезу можна записати так: .

Виникає запитання: суттєво чи несуттєво відрізняються виправлені дисперсії? Якщо виявиться, що гіпотеза справедлива, тобто генеральні дисперсії однакові, то різниця виправлених дисперсій несуттєва і пояснюється випадковими причинами. За критерій перевірки нульової гіпотези приймаємо відношення більшої виправленої дисперсії (наприклад ) до меншої (наприклад ), тобто випадкову величину (статистику)

. (12.12)

Величина має розподіл Фішера-Снедекора із ступенями вільності і , де – обсяг вибірки, за якою обчислена більша виправлена вибіркова дисперсія, і – обсяг вибірки, за якою обчислена менша виправлена вибіркова дисперсія. Критична область будується в залежності від виду конкуруючої гіпотези.

Випадок І. Конкуруюча гіпотеза . У цьому випадку будуємо правосторонню критичну область , яка задовольняє умову

. (12.13)

Критичну точку знаходимо за таблицею додатка 8 критичних точок розподілу Фішера-Снедекора. Значення обчислюємо за формулою (12.12). Якщо , то немає підстав відхиляти нульову (основну) гіпотезу, якщо , то нульову гіпотезу відхиляємо.

 

Приклад 12.6. За даними двох незалежних вибірок обсягів знайдено виправлені вибіркові дисперсії За даним рівнем значущості перевірити нульову гіпотезу при конкуруючій гіпотезі .

Розв’язання. За формулою (12.12) обчислимо .

За таблицею додатка 8 при , та ступенями вільності знаходимо критичну точку . Оскільки , то гіпотеза про рівність генеральних дисперсій приймається.

Зауваження.У випадку, коли , критерій узгодження і , , а за конкуруючу гіпотезу логічно взяти гіпотезу .

Випадок ІІ. Конкуруюча гіпотеза . У цьому випадку будуємо двосторонню критичну область і знаходимо критичну точку .

Якщо , то приймаємо основну гіпотезу, якщо , то нульову гіпотезу відхиляємо.

 

Приклад 12.7. Нехай за даними двох незалежних вибірок обсягів знайдено виправлені вибіркові дисперсії . При рівні значущості перевірити нульову гіпотезу відносно конкуруючої гіпотези .

Розв’язання. За формулою (13.12) обчислюємо . За таблицею додатка 8, при , знаходимо критичну точку . Оскільки , то нульову гіпотезу приймаємо, тобто генеральні дисперсії рівні між собою.

 

Приклад 12.8.Термін зберігання продукції, виготовленої за технологією А, становить:

Термін зберігання	xi
Число одиниць продукції	ni

 

а виготовленої за технологією В:

Термін зберігання	yi
Число одиниць продукції	mi

Припустивши, що випадкові величини та розподілені за нормальним законом, перевірити гіпотезу при рівні значущості 0,1 і альтернативній гіпотезі .

Розв’язання. Обчислимо виправлені вибіркові дисперсії . Для цього спочатку знайдемо вибіркові середні та :

,

Тоді

.

Враховуючи, що визначимо : . Оскільки , то критичне значення знаходимо з умови

За таблицею розподілу Фішера-Снедекора (додаток 8 ) визначаємо Оскільки число потрапляє в критичну область , то гіпотезу про рівність дисперсій середнього терміну зберігання продукції, виготовленої за технологіями А та В, відхиляємо.