Теорема 16. Якщо хn — нескінченно мала послідовність і , то послідовність є нескінченно великою.

Доведення аналогічне попередньому.

, оскільки .

Зауваження. Нескінченно велику (малу) послідовність називають також нескінченно великою (малою) величиною.

4.1.13. Теореми про границі

Теорема 17. Для того щоб послідовність х_n мала границю а, необхідно і достатньо, щоб х_n = а + у_n, де у_n — нескінченно мала послідовність.

Доведення. Необхідність. Нехай . Візьмемо довільне число . Завжди знайдеться число N таке, що при виконується нерівність . Позначимо . Для послідовності у_n виконується нерівність . Це означає, що .

Достатність. Нехай у_n — нескінченно мала послідовність. Візьмемо довільне число . Для нього знайдеться число N, таке що при виконується нерівність . Звідси випливає . Це й означає, що .

Теорема 18. Якщо послідовності xn і yn збігаються, а також

;

,

то послідовності x_n + y_n, x_ny_n, const x_n, також збігаються і виконуються наведені далі рівності.

1. —

границя суми послідовностей дорівнює сумі їх границь, якщо вони існують.

2. —

границя добутку послідовностей дорівнює добутку їх границь, якщо вони існують.

3. —

сталий множник можна винести за знак границі.

4. .

Границя відношення двох послідовностей дорівнює відношенню границь послідовностей, якщо вони існують і .

 

Доведення. 1. Якщо і , то за теоремою 17

,

де — нескінченно малі величини. Додаючи почленно дві останні рівності, маємо:

.

Сума двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала. Отже, підкреслений вираз є нескінченно малою величиною, а це означає, що

.

2. Розглянемо добуток

.

Маємо:

— добуток обмеженої величини на нескінченно малу — є величина нескінченно мала. — добуток двох нескінченно малих величин є нескінченно мала величина.

Тоді з теореми 17 випливає, що

.

3. Наслідок із 2, якщо y_n = const.

4. Покладемо для визначеності b > 0. Розглянемо дріб

.

Починаючи з деякого номера N, виконується нерівність . У цьому разі

.

Отже, величина — обмежена. Тоді як добуток обмеженої величини на нескінченно малу є нескінченно малою величиною.

Отже, з теорем 14 і 17 маємо:

¨

Знайти

.

4.1.14. Границя відношення двох многочленів

Правило:

1. .

2. .

4.1.15. Добування квадратного кореня

Розглянемо послідовність

, . (1)

Припустимо, що , . Переходячи до границі рекурентних відношень, дістаємо:

або

.

Доведемо, що

Нехай . Перетворимо вираз

.

З умови випливає нерівність . Тому

. (2)

Маємо нерівність

.

Після перетворень дістаємо: або .

Послідовність (1) монотонно спадає та обмежена знизу, тому існує . Із оцінки маємо нерівність , із якої випливає, що Отже, , де .

Обчислити .

· Запишемо послідовність (1)

Дістанемо відповідь з точністю до 5-го знака:

.

ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

4.2.1. Поняття границі функції

Означення. Нехай х₀Î(а, b) і функція у = f(x) визначена на інтервалі (а, b) за винятком, можливо, точки х₀. Якщо для будь-якої збіжної послідовності х_n ( , ) існує , то говорять, що функція має границю А при .

Позначення:

Інше означення границі функції дав Коші:

Означення. (Коші)

Границею функції при х, що прямує до а, називається число А, якщо для будь-якого існує число , таке що для всіх х, які задовольняють нерівність випливає

Позначення:

Графічна ілюстрація:

Рис. 4.4

Пояснення. Для всіх х, що містяться поруч із точкою х = а, значення функції f(х) лежать біля А.

Довести за означенням границі функції, що

.

· Застосовуємо означення границі, коли f(x) = 5x – 3, a = 1, A = 2.

Згідно з означенням потрібно показати, що для будь-якого e > 0 існує d > 0, таке що для всіх х

.

Маємо:

Отже, можна взяти (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Для функції нерівність виконується, як тільки . ·

 

 

4.2.2. Ліва та права границі функції

Означення:

Правою границею функції , коли х прямує до а справа, називається число l, таке що існує , при якому для всіх х, що задовольняють нерівність , маємо . Позначення: .

Графічна ілюстрація

Рис. 4.6

Означення:

Лівою границею функції , коли х прямує до а зліва, називається число A–, таке що при будь-якому існує d > 0 таке, що для всіх х, які задовольняють нерівність , маємо .

Позначення:

.

Інколи границю називають двосторонньою границею, а границі зліва та справа — односторонніми границями.

Зв’язок між односторонніми та двосторонніми границями: Функція має границю в точці х = а тоді і тільки тоді, коли існують границі зліва та справа в точці х = а і дорівнюють одна одній. Символічно:

і .

4.2.3. Теореми про границі функції