де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х0.

Таким чином, доведено, що існують точки x, такі що

2. Нехай m ¹ M. Тоді функція f(х) набуває найбільшого значення М або найменшого значення m у точці x усередині інтервалу
(а, b). У цій точці за теоремою Ферма похідна перетворюється на 0.

Отже, доведено, що коли виконуються умови теореми Ролля, на інтервалі (а, b) існує хоча б одна точка x, в якій похідна дорівнює нулю. ¨

Геометрична інтерпретація теореми Ролля: якщо виконуються умови теореми Ролля, то знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі абсцис. У цій точці похідна й дорівнює нулю (на рис. 5.17 таких точок три).

Рис. 5.17

У точках x₁, x₂, x₃ дотична завжди горизонтальна, оскільки .

Формулювання теореми Ролля в разі, коли f(a) = f(b) = 0:

Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a, b], що визначається її коренями, і диференційовна усередині такого відрізка, то обов’язково між коренями функції знайдеться хоча б один корінь її похідної.

Зауваження. Якщо порушується хоча б одна з умов теореми Ролля, то може не бути точки, в якій похідна функції дорівнює нулю.

Функція f(х) визначена на відрізку [a, b] і в одній із внутрішніх його точок х₁ порушується умова диференційовності функції (рис. 5.18).

Рис. 5.18

Тому на інтервалі немає точки, в якій похідна перетворюється на нуль.

5.3.3. Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости функції). Нехай задано функцію f(х), неперервну на відрізку [a, b] і диференційовну на інтервалі (а і b). Тоді знайдеться точка x
(а < x < b), така що похідна f¢(x) функції в цій точці f¢(x) дорівнюватиме відношенню :

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F(x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля, тобто неперервна усередині відрізка [a, b] і F(a) = F(b). Подамо функцію F(x) у вигляді

де l — деяка (поки що невідома) стала.

Усі умови теореми Ролля виконуватимуться, якщо взяти l таке, що

або

Звідси

Отже,

Таким чином, функція F(x) задовольняє всі умови теореми Ролля і тому на інтервалі (а, b) знайдеться деяка точка x, така що :

Звідси

Геометрична інтерпретація теореми Лагранжа.На інтервалі (a, b) знайдеться хоча б одна точка x, в якій дотична є паралельною хорді АВ, що сполучає кінці дуги функції f(x) на відрізку [a, b] (рис 5.19).

Рис. 5.19.

5.3.4. Теорема Коші

Теорема Коші (про кінцеві прирости двох функцій). Нехай на відрізку [a, b] задано дві функції f(x) і j(x). Якщо ці функції неперервні на відрізку [a, b] і диференційовні на інтервалі (a, b), причому не перетворюється на нуль, то на інтервалі (a, b) існує точка x (а < x < b), така що

(1)

Зауваження. Ця теорема не отримується безпосередньо застосуванням теореми Лагранжа до знаменника і чисельника лівої частини рівності (1).

Якщо безпосередньо застосуємо її до чисельника і знаменника формули (1), дістанемо:

де у загальному випадку

У формулі (1) j(b) ¹ j(a), а отже, .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію F(x), яка задовольняє всі умови теореми Ролля. Нехай, наприклад, F(x) подається у вигляді:

де l — не визначена поки що стала.

За властивостями функцій f(x) і j(x), зазначеними в умові теореми Коші, функція F(x) за побудовою буде неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b).

Залишається вимагати, щоб виконувалася умова F(a) = F(b).

Визначимо сталу l за цією умовою:

Оскільки , дістанемо

Тоді допоміжна функція

задовольняє всі умови теореми Ролля на відрізку [a, b].

Отже, усередині цього відрізка існує точка x (а < x < b), така що :

або

Геометрична інтерпретація

Нехай рівняння

є рівнянням кривої, де на функції і накладено умови теореми Коші (рис. 5.20).

Рис. 5.20

Тоді є кутовим коефіцієнтом хорди, що сполучає точки і кривої, а кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої (1) у точці є відношення . Отже, теорема Коші стверджує існування точки x, в якій дотична до кривої (1) паралельна хорді, що сполучає кінці цієї кривої.

Чи задовольняє функція умови теореми Ферма на відрізку [1; 2]?

· Функція f(x) не задовольняє умову теореми Ферма, оскільки вона монотонно зростає на відрізку [1; 2], набуваючи найбільшого значення при х = 2 і найменшого при х = 1. Отже, не можна стверджувати, що . Справді, і .

Довести, що рівняння

має лише один дійсний корінь.

· Існування хоча б одного дійсного кореня випливає з того, що многочлен має непарний степінь. Єдиність кореня доведемо від супротивного.

Припустимо, що існують два корені рівняння . Тоді на відрізку функція f(x) задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна, перетворюється на нуль на кінцях відрізка і в кожній точці має похідну.

Отже, у деякій точці виконується рівність . Але . Здобута суперечність доводить, що задане рівняння має лише один дійсний корінь. ·

Довести нерівність

де .

· До функції на відрізку застосуємо формулу Лагранжа:

Тоді

оскільки

Зокрема, покладаючи , дістаємо:

Перевірити, що функції і задовольняють умови теореми Коші на відрізку [1; 4] і знайти відповідне значення .

· Задані функції f(x) і g(x) неперервні всюди, а отже, і на відрізку
[1; 4]; їх похідні і є скінченними. Окрім того, не перетворюється на нуль при жодному дійсному х.

Таким чином, можемо застосувати формулу Коші:

тобто .

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: . Проте лише є внутрішньою точкою відрізка [1; 4]. ·

5.3.5. Узагальнення теореми
про скінченний приріст.
Формула Тейлора

Нехай функція f(x) має п похідних у точці х₀.

Означення. Многочлен

називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х₀.

Теорема. Нехай функція f(x) має в e-околі точки х₀ (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х₀, для якої справджується рівність:

(1)

де Т(х) — п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х0.

Доведення. Визначимо функцію r(x) формулою . Оскільки , маємо . Визначимо ще одну функцію:

Для цієї функції також виконується рівність . Тому можна застосувати теорему Коші для перетворення частки функцій r(x) і j(x):

, (2)

де х₁ — деяка точка, розміщена між точками х₀ і х. Маємо , оскільки

Крім того, .

Звідси . Застосовуючи теорему Коші до співвідношення (2), дістаємо:

, (3)

де точка х₂ розміщена між х₀ і х₁.

Міркуючи так само, застосуємо теорему Коші до співвідношення (3) (п + 1) раз і дістанемо ланцюжок рівностей:

де кожна точка х_k₊₁ розміщена між х₀ і х_k (k = 1, …, n). Отже,

, (4)

де ,

Узявши с = х_n_{+ 1} і врахувавши, що f(x) = T(x) + r(x), дістанемо рівність (1).

Формула (1) називається формулою Тейлора, а вираз (4) — залишковим членом у формі Лагранжа.

Беручи у формулі (1) х₀ = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:

де с — точка, розміщена між 0 і х.

5.3.6. Застосування формули Тейлора
в економічних задачах

1. Рівність застосовується в задачах економічної статистики. Наприклад, розглянемо таку задачу.

Припустимо, що для чисел відомо середнє арифметичне

і середнє квадратичне відхилення:

Як визначити середнє арифметичне виду

якщо числа х₁, х₂, …, х_n невідомі, але відомий відрізок, якому вони належать?

· Значення можна, очевидно, знайти лише наближено. При цьому похідна буде настільки малою, наскільки малим буде максимальне значення на відрізку, який містить х₁, х₂, …, х_n.

Замінимо функцію f(x) на многочлен Тейлора другого порядку в точці а:

Тоді

Оскільки

маємо:

. · (7)

Для додатних чисел х₁, х₂, …, х_n відоме середнє арифметичне а і середнє квадратичне відхилення . Знайти наближено середнє геометричне .

· Середнє геометричне можна подати у вигляді:

Використовуючи формулу (7) для функції , одержимо

Отже, середнє геометричне дорівнює

. (8)

Нехай р_і — вартість споживчого кошика на 1 січня і-го року, — індекс споживчих цін за цей рік. Відомо, що середнє арифметичне чисел k₁, k₂, …, k_n дорівнює 1, а середнє квадратичне відхилення = 1. Визначити відносну зміну споживчих цін з 1 січня і-го року по 1 січня (і+10)го року.

· Згідно з формулою (8) знаходимо

Далі маємо:

Отже, ціни за 10 років зросли приблизно на 5%. ·

5.3.7. Розклад основних елементарних функцій
за формулою Тейлора

1. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х₀ = 0. Для цього обчислюємо:

Далі за формулою Тейлора (1) маємо:

(9)

Зокрема, при х = 1

У цьому розкладі залишковий член прямує до нуля при :

Можна записати: .

Цей вираз називають рядами і позначають так:

(10)

2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію у
т. х₀ = 0. Насамперед знайдемо:

, ;

;

.......................................................................................................

За формулою Тейлора (1) дістанемо (рис. 5.21)

(11)

Рис. 5.21

Обчислимо, скільки потрібно утримати членів у формулі для того, щоб обчислити значення функції з точністю до 10^–8 при .

Залишковий член у формулі Тейлора за модулем має бути меншим, ніж 10^–8:

Отже, .

Обчислимо кілька членів розкладу при

n = 0,	;
n = 1,	;
n = 3,	;
n = 4,	;
n = 5,	.

Остаточно дістанемо:

3. Розклад за формулою Тейлора функції в т. х₀ = 0.

Насамперед обчислимо:

, ;

, .

Далі за формулою Тейлора (1) дістанемо:

(12)

Знайдемо значення з точністю до 10^–10.

Оскільки , то

Щоб досягти заданої точності, візьмемо

5.3.8. Розклад за формулою Тейлора
деяких часто застосовуваних функцій

1. Розклад функції , — довільне число.

Насамперед

,	;
,	;
,	;
,	.

..........................................................................................................

За формулою Тейлора отримаємо розклад

(13)

Цей розклад названо формулою бінома Ньютона на честь її відкривача. Якщо — натуральне число, то розклад містить скінченне число доданків.

Обчислити .

Маємо

;

Застосувавши знайдений розклад, обчислимо .

Виконаємо перетворення ;

2. Розклад функції

,	;
,	;
;
,	;
,	;
… … … … … …	… … … … … …

За формулою Тейлора (1) дістанемо розклад

або (14)

5.3.9. Обчислення радикалів

Розглянемо запропонований Л. Ейлером спосіб обчислення радикалів. У формулі бінома Ньютона

Згідно з Ейлером візьмемо .

Тоді

або

Замінивши в розкладі на , запишемо

Після спрощення дістанемо формулу Ейлера:

(15)

Обчислимо .

За формулою (15) виконується рівність:

= , , , , ,	1,400 000 0000; 14 000 0000 210 0000 3 5000
	1,414 213 5623

5.3.10. Інтерполювання функції

У разі виконання обчислень за допомогою таблиць часто буває так, що аргумент функції задано з точністю, яка перевищує табличну. Тоді застосовуємо інтерполювання — наближене знаходження невідомих значень функції за відомими її значеннями в заданих точках.

Найпростішим є лінійне інтерполювання, коли приріст функції вважається пропорційним до приросту аргументу. Якщо задане значення х міститься між наведеними в таблиці значеннями х₀ і х₁ = х₀ + h, яким відповідають значення функції у₀ = f(x) i y₁ =
= f(x₀) + f, то беруть

(1)

Рис. 5.22

Величини називаються інтерполяційними поправками. Їх обчислюють за допомогою таблиці або відшукують у спеціальних довідниках.

Якщо за заданим значенням функції потрібно знайти наближене значення аргументу, то виконують обернене інтерполювання.

Функцію у = f(x) задано таблицею:

x		2,04	2,08
y	2,42	2,88	3,38

1) знайти f (2,008);

2) знайти х, якщо f(x) = 3.

· 1) Маємо х₀ = 2, f(x) = 2,42.

х₁ = 2,04, f(x₁) = 2,88;

h = x₁ – x₀ = 2,04 – 2,0 = 0,04;

f = f(x₁) – f(x₀) = 2,88 – 2,42 = 0,46.

За інтерполяційною формулою (1) дістаємо:

. ·

2) Обернене інтерполювання можна виконати за цією самою формулою, помінявши місцями х і у:

де х = (у) — невідоме значення оберненої функції.

Маємо у₀ = 2,88; (у₀) = 2,04;

у₁ = 3,38; (у₁) = 2,08; h = y₁ – y₀ = 3,38 – 2,88 = 0,50;

Dj = j(y₁) – j(y₀) = 2,08 –2,04 = 0,04.

За інтерполяційною формулою (2) обчислюємо:

Зауваження. Якщо результати лінійного інтерполювання не задовольняють потреб щодо точності, застосовують точніші методи інтерполювання, наприклад квадратичне інтерполювання.