Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

Дослідження функцій можна проводити за трьома рівнями.

1-й рівень. Дослідження функції з допомогою елементарних властивостей функції.

2-й рівень. Дослідження функцій за допомогою першої похідної.

3-й рівень. Дослідження функцій за допомогою похідних другого і вищих порядків.

5.6.1. Дослідження функцій
за допомогою елементарних властивостей

До елементарних властивостей (характеристик) функції відносимо такі поняття, як область визначення і значень функції, симетричність і парність, непарність, періодичність функції, монотонність.

Твердження, на підставі яких можна встановлювати парність, непарність, періодичність і монотонність функцій, а саме:

а) функція не є парною або непарною, якщо її область визначення не симетрична відносно нуля числової прямої;

б) функція f(x) не є парною або непарною, якщо корені рівняння f(x) = 0 не розміщені симетрично відносно нуля числової прямої;

в) нехай задано функції f(x) і j(x). Якщо функція f(j(x)) визначена на Е, а j(x) парна на Е, то і f(j(x)) парна на Е. Наприклад, функція f(x) = 4^cosx парна на R.

г) строго монотонна функція не є періодичною;

д) якщо функції f(x) і j(x) одночасно або зростаючі, або спадні, f(j(x)) і j(x) визначені на Е, то f(j(x)) зростаюча на Е;

е) якщо функція f(x) зростаюча, а j(x) спадна або, навпаки, f(x) спадна, j(x) зростаюча, f(j(x)) і j(x) визначені на Е, то f(j(x)) спадна на Е. Наприклад, функція f(x) = 2^x зростаюча на R, тому f(x) = 2^cosx зростає на тих проміжках із R, де зростає cosx, і спадає там, де спадає cosx.

5.6.2. Ознака сталості
диференційовних функцій

Теорема 1. Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку [a; b]і диференційовна в кожній його внутрішній точці. Для того щоб функціяf(x)була сталою на проміжку[a; b],необхідно і достатньо, аби для всіх .

Доведення. Необхідність. Оскільки за умовою , , то для всіх .

Достатність. Нехай тепер f(x) неперервна на проміжку [a; b] і для . Зафіксуємо точку . Візьмемо довільну точку , і застосуємо теорему Лагранжа до функції f(x) на проміжку [х₀; х], якщо х₀ < x або на проміжку [х; х₀], якщо х < x₀. В обох випадках

,

де с лежить між х₀ і х. Оскільки , то і, отже, , або для хÎ[a; b], тобто f(x) — стала функція, яка дорівнює f(x₀) на проміжку [a; b].

5.6.3. Зростання і спадання функції
в точці і на проміжку

Означення. Нехай функція f(x) визначена на проміжку (a; b) і х₀Î(a; b). Кажуть, що f(x) зростає в точці x₀, якщо існує окіл точки x₀, в якому f(x) < f(x₀) для х < x₀, а для х > x₀

f(x) > f(x₀).

Аналогічно за означенням f(x) спадає в точці х₀Î(a; b), якщо існує її окіл, в якому f(x) > f(x₀) для х < x₀, а f(x) < f(x₀) для х > x₀.

Теорема 2 (достатня ознака зростання і спадання функції в точці). Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0Î(a; b) і f¢(x0) > 0 (f¢(x0) < 0), то f(x) зростає (спадає) в точці х0.

Доведення. Проведемо доведення для випадку, коли f¢ (x₀) > 0. Оскільки , то існує окіл точки х₀, в якому для х ¹ х₀. Звідси випливає, що в цьому околі f(x) < f(x₀) для х < x₀, тобто f(x) зростає в точці x₀. Аналогічно доводиться випадок, коли f¢(x₀) < 0.

Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.

5.6.4. Ознаки монотонності
диференційовних функцій

Розглянемо деякі ознаки монотонності і строгої монотонності диференційовних на проміжку функцій.

Теорема 4 (ознака монотонності). Нехай функціяf(x)неперер­вна на проміжку[а; b]і диференційовна в інтервалі(a; b).Тоді:

1) для того щоб функціяf(x)була монотонно зростаючою на проміжку[а; b],необхідно і достатньо, аби виконувалася нерівність для всіххÎ(a; b);

2) для того щоб функціяf(x)була монотонно спадною на проміжку[а; b],необхідно і достатньо, аби виконувалась нерівність для всіххÎ(a; b).

Доведення. Проведемо доведення першого пункту теореми.

Необхідність. Нехай функція f(x) неперервна і неспадна на [а; b] і має скінченну похідну f¢(x) в інтервалі (a; b). Покажемо, що f¢ (x) ³ 0 для хÎ(a; b). За умовою для будь-якого хÎ(a; b) існує . Крім того, для із (a; b) f(t) ³ f(x) і, отже, для t > х

,

тому

,

що і доводить необхідність.

Достатність. Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [а; b] і для будь-яких хÎ(a; b). Задамо довільні х₂ і х₁ із [а; b] за умови х₂ > х₁. За теоремою Лагранжа , звідки .

Отже, для х₁ і х₂ із (а; b) при х₂ > х₁ дістаємо f(x₂) ³ f(x₁), тобто функція f(x) зростає.

Теорема 5 (ознака строгої монотонності). Нехай функція f(x)неперервна на проміжку[а; b]і диференційовна в інтервалі(a; b).Для того щоб функціяf(x) була зростаючою (спадною) на проміжку[а; b],необхідно і достатньо виконання двох умов:

1)f¢(x) ³ 0 (f¢(x) £ 0)для будь-якогохÎ(a; b);

2) рівністьf¢(x) = 0не повинна виконуватися в жодному інтервалі, що лежить в[а; b].

Теорема 6 (достатня ознака строгої монотонності). Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку[а; b]і диференційовна в інтервалі (a; b). Якщоf¢(x)>0для всіххÎ(a; b),тоf(x)зростає на[а; b],якщо жf¢(x) < 0для всіххÎ(a; b),тоf(x)спадає на[а; b].

5.6.5. Дослідження диференційовної функції
на монотонність

1. Знайти нулі функції f¢ (x), тобто корені рівняння f¢ (x) = 0 (якщо вони є), і розбити інтервал (a; b) за допомогою знайдених коренів х₁, х₂, …, х_k, a < x₁ < x₂ < … < x_k < b, на інтервалі (а; х₁), (х₁; х₂), …, (х_k–1; х_k), (х_k; b).

2. Визначити знак похідної на кожному із таких інтервалів. Якщо при цьому виявиться, що на двох сусідніх інтервалах похідна f¢ (x) має один і той самий знак, то функція строго монотонна в інтервалі ; . Наприклад, якщо f¢ (x) > 0, то функція f(x) зростаюча, якщо f¢ (x) < 0, то f(x) спадна.

Строга монотонність за теоремою 6 зберігається, якщо до частинного інтервалу приєднати його кінці, на яких за умовою функція неперервна. Якщо f(x) на проміжку [а; b] неперервна, а в інтервалі (a; b) похідна f¢ (x) не перетворюється на нуль, то на проміжку [а; b] функція f(x) буде строго монотонною, а саме при f¢ (x) > 0 — зростаючою, при f¢ (x) < 0 — спадною.

Знайти інтервали зростання і спадання функції

.

Маємо

,

звідки

Похідна f¢ (x) неперервна для хÎ(– ¥; + ¥) і перетворюється на нуль лише в точках х = 0, х = 1, х =3, тому вона в інтервалах (– ¥; 0), (0; 1), (1; 3) і (3; + ¥) зберігає знак. Оскільки f¢(– 1) > 0, , f¢ (2) < 0,
f¢ (5) > 0, f¢ (х) > 0, якщо хÎ(– ¥; 0), f¢ (х) > 0, хÎ(0; 1), f¢ (х) < 0, хÎ(1; 3), f¢ (х) > 0, хÎ(3; + ¥).

Тому функція f(x) зростає на інтервалах (– ¥; 0); (0; 1); (3; + ¥) і спадає на інтервалі (1; 3).

5.6.6. Поняття максимуму
та мінімуму на множині

Нехай функція f(x) визначена на числовій множині Е.

Означення. Функція f(x) на множині Е має найбільше значення В або максимум (найменше значення А або мінімум), коли існує точка х₀ÎЕ така, що для всіх хÎЕ виконується умова

Позначатимемо:

Максимум (мінімум) функції на множині інколи називають абсолютним максимумом (абсолютним мінімумом).

Можна помітити, що коли , то . Також , коли . Отже, коли функція f(x) на множині Е має максимум (мінімум), то цей максимум (мінімум) збігається з верхньою (нижньою) межею значень функції на множині Е.

Зауважимо, що функція на заданій множині може і не мати максимуму або мінімуму.

Знайти найбільше і найменше значення функції:

f(x) = х², хÎЕ = {– 1, 0, 1, 2, 3}.

Маємо f(x) = f(3) = 9, .

5.6.7. Поняття максимуму і мінімуму функції
в точці (локальний екстремум)

Нехай функція f(x) визначена на проміжку [а; b] і х₀ — внутрішня точка проміжку: х₀Î(a; b).

Означення. Функція f(x) в точці х₀ має максимум, якщо існує окіл точки х₀, що для всіх х, х ¹ х₀, цього околу виконується нерівність f(x) £ f(x₀). Саме значення f(x₀) називатимемо максимумом (локальним максимумом) функції f(x) в точці x₀ і позначатимемо maxf(x) = f(x₀).

Функція f(x) в точці х₀ має мінімум, якщо існує окіл точки х₀, що для всіх х (х ¹ х₀), які належать цьому околу, буде виконуватись нерівність f(x) ³ f(x₀). При цьому саме значення f(x₀) називатимемо мінімумом (локальним мінімумом) функції f(x) в точці х₀ і позначатимемо minf(x) = f(x₀).

Рис. 5.31

Далі, якщо для х ¹ х₀ у даному околі точки х₀ , функція f(x) має строгий максимум (строгий мінімум).

Максимум і мінімум функції в точці об’єднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.

5.6.8. Необхідна умова екстремуму.
Стаціонарні і критичні точки функції

Нехай функція f(x) визначена і диференційовна в інтервалі (a; b).

Означення. Точки інтервалу (a; b), в яких похідна f¢ (x) перетворюється в нуль (f¢ (x) = 0), називаються стаціонарними точками функції f(x) в інтервалі (a; b).

Геометрична інтерпретація. Кожна стаціонарна точка х₀Î(a; b) функції f(x), диференційовної в інтервалі (a; b), характеризується тим, що дотична до кривої у = f(x) в точці (х₀; f(x₀)) паралельна осі абсцис, оскільки кутовий коефіцієнт цієї дотичної .

Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a; b] і диференційовна на проміжку (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких функція не має похідної.

Теорема 1. Для того щоб точках₀ була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю(f¢(x) = 0)або функція була недиференційовна в цій точці.

Доведення випливає з теореми Ферма.

Означення. Для функції f(x), неперервної на відрізку [а; b] і диференційовної на інтервалі (a; b) (за винятком, можливо, скінченного числа точок, де не існує похідної f¢(x) в цьому інтервалі), точки, де її похідна дорівнює нулю або не існує, називатимемо критичними її точками на проміжку [а; b], або точками, «підозрілими» на екстремум функції f(x) на проміжку [а; b].

Знайти критичні точки функції

.

Маємо f¢(x) = х² – 5х + 6. Розв’язавши рівняння f¢ (x) = 0, дістанемо х = 2 і х = 3. Оскільки функція f(x) диференційовна, то критичними точками будуть лише стаціонарні, тобто точки х = 2 і х = 3.

5.6.9. Достатні умови строгого екстремуму

Нехай функція f(x) диференційовна в деякому околі точки х₀, за винятком, можливо, самої точки х₀. Будемо говорити, що похідна f¢ (x) при переході через точку х₀ змінює знак із плюса на мінус, якщо існує такий окіл точки х₀, що для f¢ (x) > 0, а для f¢(x) < 0. Аналогічно f¢ (x) при переході через точку х₀ змінює знак із мінуса на плюс, якщо існує окіл точки х₀, що для f¢ (x) < 0, а для f¢(x) > 0.

Нарешті, f¢(x) при переході через точку х₀ не змінює знака, якщо для і для f¢(x) зберігає один і той самий знак (буде або додатна, або від’ємна).

Теорема 2. Нехай функція f(x)диференційовна в околі точких₀, за винятком, можливо, самої точких₀, в якій f(x)неперервна. Тоді:

1) якщо при переході через точкух₀похідна f¢ (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точціх₀функція f(x)має строгий максимум;

2) якщо при переході через точкух₀похідна f¢ (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х₀ функція f(x)має строгий мінімум;