Свойства точек и прямой на плоскости.

1.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

2.Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

3.Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

4.Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Свойство биссектрис смежных углов.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

Свойство биссектрис вертикальных углов.
Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Понятие перпендикуляра к прямой. Теорема о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку.
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Свойства равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой;
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Признаки равнобедренного треугольника.
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный;
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный;
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой,
то этот треугольник равнобедренный.

Медиана, биссектриса и высота треугольника.

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину
треугольника с серединой противоположной стороны.

В любом треугольнике можно провести 3 медианы. Все они
пересекаются в одной точке, в центре (центре тяжести) треугольника.

Биссектрисатреугольника — отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне.

Обратите внимание, что биссектриса угла — это луч, делящий угол
на два равных, а биссектриса треугольника — это отрезок, часть луча,
ограниченная стороной треугольника.

В каждом треугольнике можно провести
3 биссектрисы, которые пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис треугольника —
центр вписанной в треугольник окружности.

Высотатреугольника — перпендикуляр, проведенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Признаки параллельных прямых.
Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей на­крест ле­жа­щие углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны.
Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей со­от­вет­ствен­ныеуглы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны.
Если при пе­ре­се­че­нии двух пря­мых се­ку­щей сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°, то пря­мые па­рал­лель­ны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма внешних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника.
1. Про­тив боль­шей сто­ро­ны лежит боль­ший угол

2. Об­рат­но, про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на.

Неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Свойство внешнего угла треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов не смежных с ним.

Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине равна 180.

Сумма внешних углов треугольник взятых по одному при каждой вершине равна 180.

Внешние углы при одной вершине треугольника равны между собой (как вертикальные).

Прямоугольный треугольник.
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.
Угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы равен 30º.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.


Равенство прямоугольных треугольников.
Если два ка­те­та од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум ка­те­там дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Если катет и при­ле­жа­щий к нему ост­рый угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ка­те­ту и при­ле­жа­ще­му остро­му углу дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Если ги­по­те­ну­за и при­ле­жа­щий к ней угол од­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му углу дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

Если катет и ги­по­те­ну­за од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе дру­го­го тре­уголь­ни­ка, такие пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны.

Свойства биссектрис параллелограмма.
Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник (по свойству накрест лежащие углы равны, а так как биссектриса делит угол на две равные части, то все углы, касающиеся биссектрисы, равны);

Биссектрисы смежных углов при пересечении образуют прямой угол (по обычному свойству биссектрис);

Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник (следует из предыдущего свойства о том, что биссектрисы смежных углов пересекаются под прямым углом);

Если диагональ угла в параллелограмме является при этом биссектрисой, то этот параллелограмм называется ромбом (по признакам ромба).

Свойства углов между высотами параллелограмма. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма. Теорема Фалеса.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла.