Метод математической индукции
ФБГОУ ВПО
“ВоронежскИЙ государственнЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ технологиЙ”
Кафедра информационных технологий,
Моделирования и управления
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Методические указания к практическим и лабораторным занятиям
по дисциплине "Дискретная математика"
Для бакалавров, обучающихся
По направлениям 230400, 230700
и специалистов – по специальности 090303
Очной формы обучения
Метод математической индукции
Метод математической индукции – универсальный способ доказательства утверждений, зависящих от натурального аргумента n. Он основан на следующем принципе математической индукции: утверждение справедливо для любого натурального n, если: 10 оно справедливо для n = 1;
20 из того, что оно верно для всех n £ k (k ³ 1) следует его справедливость для n = k + 1.
Этот принцип, являющийся одной из аксиом натурального ряда можно перефразировать так: если в цепочке утверждений Р(n) первое утверждение Р(1) верно, а из справедливости Р(k) следует справедливость Р(k + 1), то вся цепочка состоит из верных утверждений.
Задача 1. Найти сумму 
.
Решение. Имеем: 
; 
; 
; 
. Есть подозрение, что 
. Докажем эту формулу.
10. При n = 1 
– формула верна.
20. Предположим, что для произвольного k ³1 для всех n£ k . В частности, для n = k 
. Найдем 
. Имеем 
. По предположению это равно
= 
= 
= 
,
что и требовалось доказать.
Слово “индукция” переводится как “наведение”. Во многих отраслях науки используют метод простой (не математической) индукции – вывод, полученный после рассмотрения ряда частных случаев (согласно принципу простой индукции – от частного к общему). В основном так поступают, обобщая результаты каких-то экспериментов. Так, в предыдущем примере, при выводе возможной формулы для Sn, предварительно были найдены значения S1, S2, S3, … . Однако индуктивное утверждение может быть неверным, простая индукция позволяет лишь выдвинуть гипотезу, которую надо доказать, например, с помощью математической (полной) индукции. Можно привести много примеров, когда простая ндук-ция приводит к ошибочным выводам. Например, анализируя числа 1, 3, 5, 7 можно прийти к неверноиу заключению, что все не-четные числа являются простыми.
Слово ”индукция” в названии рассматриваемого метода, видимо, связано с тем, что для его использования необходимо сначала догадаться, что именно следует доказать, т.е. выдвинуть гипотезу. Обычно это делается с помощью простой индукции.
Задача 2. “Докажем”, что все натуральные числа равны между собой. Предположим, что k = k + 1. Прибавим по 1 к обеим частям этого равенства. Получим k + 1 = k + 2, что и требовалось доказать. Ошибка этого “доказательства” состоит в отсутствии проверки утверждения при n = 1.
Задача 3. Доказать неравенство 2n > 2n + 1 при n ³ 3.
Решение.
10. 23 > 7.
20. 2k + 1 = 2×2k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = (2k + 3) + (2k – 1) > 2k + 3.
Задача 4. Доказать, что для любого n ³ 0 число 11n + 2 + 122n + 1 делится на 133.
Решение.
10. 112 + 121 = 133 – верно при n = 0.
20. 11k +3 + 122(k + 1) +1 = 11×11k + 2 + 144×122k + 1 = (144–133) ´ ´11k + 2 + 144×122k + 1 = 144 × (11k + 2 + 122k + 1) – – 133×11k + 2.
В полученной разности уменьшаемое делится на 133 по предположению, а вычитаемое содержит множитель 133. Следовательно, все выражение делится на 133.