РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВЕКТОРЫ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
Вектор задан координатами
А (2;-3;0)
В (-1;4;7)
Найти координаты вектора  и его модуль
| А (x1;у1;z1) В (x2;у2;z2)
Координаты вектора определяем по следующей формуле:
Модуль вектора определяем по формуле:
|  - координаты вектора
 - модуль вектора
| |
Найти скалярное и векторное произведения векторов
| Пусть  ; 
Скалярное произведение определяется по формуле:
 - сумма парных произведений одноименных координат. В результате получается число.
Векторное произведение векторов вычисляется по следующей формуле:
В результате получается вектор.
Замечания: нельзя менять строки в определителе.
|  - скалярное произведение векторов
  - векторное произведение векторов
|
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Найти угловой коэффициент прямой 3х-4y+7=0 | Ax+By+C=0 – общее уравнение прямой
у=кх+в – уравнение прямой с угловым коэффициентом к,
в-отрезок, который прямая отсекает по оси оу.
к=tg ; где – угол, который прямая составляет с положительным направлением оси ох
Если к>0, то угол –острый, если к<0, то угол – тупой.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку с угловым коэффициентом: у-у1=к (х-х1) , где точка А(х1; у1), через которую проходит прямая.
Для определения углового коэффициента прямой, если она задана общим уравнением необходимо выразить у, а коэффициент при хи будет угловым коэффициентом прямой 
 ; 
Угол между прямыми:
Условие параллельности прямых:
к1=к2
Условие перпендикулярности прямых:
| 3х-4у+7=0
-4у=-3х-7 или 4у=3х+7
  угол - острый
|
| 2. | Найти угол между прямыми 2х-у+1=0 l1 3х+у-2=0 l2 | l1: 2х-у+1=0
у=2х+1 к1=2
l2: 3х+у-2=0
у=-3х+2 к2=-3
| |
| 3. | Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;3) перпендикулярно прямой х-4у+5=0 l1 | l2; у-у1= к2(х-х1) (1)
А(-1;3) - точка, через которую проходит искомая прямая
т.к l2 l1, то
Найдем угловой коэффициент данной прямой:
х-4у+5=0 4у=х+5
 
Найдем угловой коэффициент прямой l2:
Подставим в уравнение (1) координаты точки А(-1;3) и к2= -4
у-3= -4(х+1)
у-3= -4х-4 4х+у+1=0 Общее уравнение искомой
прямой
|
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Решить систему линейных уравнений тремя методами
1.По правилу Крамера (с помощью определителя)
2.Методом Гаусса (метод исключения неизвестных)
3. Матричным методом
| Правило Крамера
 Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Найти главный определитель системы:
 и вспомогательные 
  тогда : 
Матричный метод:
  
 матричное уравнение.
Умножим слева обе части матричного уравнения на А-1, т.е.  ; 
 ;  матричное решение.
Главный определитель  , значит, система имеет единственное решение, а матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, имеет обратную 
Такая матрица определяется по формуле:
 -минор;
 - алгебраическое дополнение, минор со знаком.  - формула, связывающая алгебраическое дополнение с минором.
| Найдем главный и вспомогательный определитель  
10(24-35)+3(-66+77) +5(55-44)=11(-10+3+5)=
-22 - 66+77-10(12+21)+5(22+33)=11-330+275= - 44
  
 
Метод Гаусса:
 
 
-2х+6у-10z=-20 -3x+9y-15z=-30 -40y+68z=124
2x+4y-7z=-11 3x-5y+6z=11 40y-90z=-190
10y-17z=-31 4y-9z= -19 -22z=-66 z=3
(1;2;3) - решение системы линейных уравнений
Матричный метод:
Вычисляем алгебраические дополнения:
А11= -11 А21= -7 А31= 1
А12= -33 А22= -9 А32= 17
А13= -22 А23= -4 А33= 10
|
МАТРИЦЫ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Даны матрицы
Найти:
1. А+В
2. 2А-3В
3. А х В
| Матрицы   - квадратные матрицы.
Существует  прямоугольная матрица
матрица-строка, матрица-столбец.
Умножение матрицы не число:
 - все элементы матрицы умножаются на число к.
 все соответствующие элементы складываются (аналогично вычитаются)
 - строка умножается на столбец, т.е. соответствующие элементы перемножаются и суммируются это произведение
| 1.
 (соответствующие элементы складываются).
2.
 - сложили соответственно элементы.
 - элементы умножаются на 2.
 - все элементы умножаются на (-3)
3.
|
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
| 1. | Вычислить определители:
а)  б) 
в) 
| Определителем второго порядка  называется число, получаемое следующем образом:  (произведение элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).
Определителем третьего порядка  называется число, получаемое следующем образом:
 - разложение по элементам первой строки. Знаки  определяются следующем образом: если сумма индексов, например, 1+1=2 (чётно) –знак не меняется,
1+2=3 (нечётно) – меняем знак элемента на противоположный.
Можно раскладывать по элементам любой строки или любого столбца. Не забываем определять знак элемента!
Можно вычислить определитель по «правилу треугольника»
| а) 
б) 
в) 
Или по «правилу треугольника»:
|
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
| № п/п | ПОЯСНЕНИЯ | ||
| Задание | Теория | Решение задания | |
Вычислить интеграл  по формуле Ньютона – Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, затем оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.
| Для приближенного вычисления определенных интегралов имеются несколько способов. Если функция f(х) задана формулой или таблицей, то приближенное значение определенного интеграла  можно найти следующим путем:
1)разделить интервал интегрирования  точками х1,х2 ,х3,……хn-1 y на n равных частей  ;
2) вычислить значения подынтегральной функции  в точках деления  ,  , 
3) воспользоваться одной из приближенных формул.
Наиболее употребительны следующие приближенные формулы, основанные на геометрическом представлении определенного интеграла в виде площади криволинейной трапеции.
I. Формула прямоугольников
или
Геометрический чертеж №1 по этой формуле площадь криволинейной трапеции аАBb, которая соответствует интегралу  заменяется суммой площадей заштрихованных прямоугольников.
Черт. №1
II. Формула трапеций
Геометрически (черт.№2) по этой формуле площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей заштрихованных трапеций.
III. Формула параболических трапеций (СИМПСОНА); n – число четное.
Геометрически (черт.№3) по этой формуле площадь каждой пары вертикальных полосок  заменяется площадью одноименной параболической трапеции, проходящей через три точки кривой с абсциссами хi, xi+1=xi+h и xi+2=xi+2h
Черт. №2 Черт №3
Все указанные приближенные формулы будут тем точнее, чем больше взято n посредством каждой из этих формул можно вычислить приближенное значение определенного интеграла с любой желаемой точностью.
| По формуле Ньютона-Лейбница
Далее делим интеграл интегрирования  на 8 равных частей. Находим длину одной части h=1, точки деления хi, значения уi подынтегральной функции  в этих точках:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
и вычисляем интеграл по приближенным формулам.
По формуле прямоугольников 
Абсолютная ошибка этого приближенного значения (по недостатку) равна 38-34,8183=3,1817, а относительная (процентная) ошибка равна  .
По формуле прямоугольников  .
Здесь абсолютная ошибка (по избытку) равна 2,8183, а относительная 
По формуле трапеций 
Абсолютная ошибка этого результата составляет 0,1817, а относительная  .
По формуле Симпсона
Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная 
|