Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Задача 1

Даны матрицы , , .

1. Вычислить матрицу 4A+5C+7 .

2. Выполняется ли равенство AC=CA?

3. Вычислить определители , , и проверить равенство: = = .

4. Используя свойства определителей, вычислить определитель

Задача 2

1. Решить систему AX=B матричным методом.

2. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

, , .

3. Решить систему уравнений методом Гаусса: .

Задача 3.Даны векторы , = . Вычислить и изобразить в системе координат следующие линейные комбинации векторов и :

, ,

Задача 4

Найти линейную комбинацию векторов , = , с коэффициентами .

Задача 5

Будут ли векторы линейно зависимы или линейно независимы в случаях:

а) = = ; б) = = ; в) = = , ?

Задача 6

Даны три вектора = = , . Доказать, что система образует базис в . Найти разложение вектора по этому базису.

Задача 7.Даны два вектора = и = . Найти угол между векторами и , а также .

Задача 8.При каком значении вектор = ортогонален вектору = ?

При каких значениях x и y векторы и параллельны?

Задача 9

Вычислить площадь и высоту треугольника с вершинами A(7;3;4), B(1;0;6) и C(4;5;7).

Задача 10

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках , , и . Вычислить: а) объем пирамиды; б) высоту, опущенную из вершины

Задача 11

Выяснить, лежат ли точки D(1;0;1), E(0;1;–3) в плоскости ABC, где A(5;–3;0), B(–4;3;3), C(–4;2;4).

Задача 12

а) Найти параметрические уравнения прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

б) При каком значении параметра t точка принадлежит этой прямой?

в) Принадлежит ли точка этой прямой?

г) Построить данную прямую.

Задача 13

а) Составить параметрические уравнения прямой , проходящей через точки и .

б) Используя параметр, найти координаты точек C и D, делящих отрезок на три равные части.

Задача 14

Построить плоскости и указать особенности их расположения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Задача 15

а) Составить уравнение плоскости , которая проходит через точку и имеет нормальный вектор .

б) Принадлежит ли этой плоскости точка ?

Задача 17

Cоставить уравнение плоскости , проходящей через три точки , и .

Задача 18

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и прямую .

Задача 19

Составить уравнение плоскости , проходящей через две параллельные прямые и .

Задача 20

Составить уравнение плоскости , проходящей через точки и параллельно вектору .

Задача 21

Составить уравнение плоскости , проходящей через две точки и перпендикулярно плоскости .

Задача 22

Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Задача 23

При каком значении параметра a плоскости и будут перпендикулярны?

Задача 24

При каких значениях параметров a и b плоскости и будут параллельны?

Задача 25

Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Задача 26

Найти угол между прямой и плоскостью .

Задача 27

Найти проекцию точки на плоскость .

Задача 28

Найти проекцию точки на прямую .

Задача 29

Дана прямая . Найти угловой коэффициент этой прямой и отрезок, отсекаемый ею на оси ординат. Построить эту прямую.

Задача 30

Дана прямая и точка . Составить уравнение:

а) прямой , проходящей через точку A параллельно прямой ;

б) прямой , проходящей через точку A перпендикулярно прямой .

Задача 31

Даны вершины , и треугольника ABC. Составить:

а) уравнение стороны BC;

б) уравнение высоты AH;

в) уравнение медианы AD.

Задача 32

Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

Задача 33

Найти координаты какой-либо точки, принадлежащей данной кривой:

.

Задача 34.Определить тип кривой и построить ее: .

Задача 35.Найти область, ограниченную линиями: и .

Задача 36.Найти полярное уравнение и построить кривую .

Задача 37.Лежит ли точка А(-1,1,2) на поверхности, полученной вращением параболы вокруг оси Ох? Если нет, найдите, по крайней мере одну точку на этой поверхности.

Задача 38.Опишите область, которая получается в сечении фигуры плоскостью хОу.

Задача 39.Найдите точки пересечения прямой с гиперболическим параболоидом .