Аналитическая геометрия на плоскости
Прямая линия
Общее уравнение прямой
.
Две прямые и
параллельны, если
, перпендикулярны, если
. Расстояние от точки
до прямой
вычисляется по формуле:
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Угол , отсчитанный против часовой стрелки от прямой
, до прямой
определяется формулой:
.
Условие параллельности двух прямых: ,
Условие перпендикулярности : .
Уравнение прямой, проходящей через данную точку , или уравнение пучка прямых:
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и
:
.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки: .
Уравнение прямой в отрезках на осях: .
Пример 1. Через точку провести прямые параллельно, перпендикулярно и под углом
к прямой (АВ):
.
Решение. Уравнения прямых, проходящих через точку :
,
.
Найдем угловые коэффициенты искомых прямых. Прямая (АВ) задана общим уравнением: . Выразив из него
, получаем уравнение с угловым коэффициентом
;
.
1. .
Уравнение :
или
.
2. .
Уравнение :
или
.
3. Прямая образует с
угол
. Обозначим ее угловой коэффициент через
и воспользуемся формулой
;
=1. Имеем
, так как искомое
может совпадать с
или
.
1) ;
;
.
2) ;
;
.
Искомые прямые
:
или
.
:
или
.
Пример 2.
;
;
вершины треугольника. Найти уравнения стороны АС, высоты, медианы, проведенных из вершины В, длину этой высоты, угол А.
Решение. 1)Прямая (АС) проходит через две точки
;
;
(АС): или
;
.
2)
(ВН): ;
;
.
3) ВМ – медиана, М – середина АС,
;
;
(ВМ): ;
;
.
4) Длина высоты равна расстоянию от точки В до прямой АС
;
(ед.).
5) ;
;
;
.
.
Кривые второго порядка
Уравнение если А, В и С одновременно не равны нулю, задает на плоскости линию, которую называют кривой второго порядка.
Если В=0 кривая имеет ось симметрии параллельную координатным осям. Будем рассматривать только этот случай.
Выделяя полный квадрат относительно каждой переменной x и y, уравнение приводим к одному из следующих канонических видов:
1. – линии эллиптического типа:
– эллипс с центром
полуосями а и b.
Если то уравнение запишется в виде
– окружность с центром радиуса R.
2. – линии гиперболического типа:
– гипербола с центром
вещественной полуосью – а, мнимой полуосью – b.
– сопряженная гипербола с центром
вещественной полуосью – b, мнимой полуосью – а.
3. – линии параболического типа.
Здесь возможны четыре случая:
либо
– параболы с вершиной
, где
.
В первом случае – ось симметрии параллельна оси , во втором –
Если в уравнении знак “+”, ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии, знак “–” — в противоположном.
Замечание. Возможны так называемые вырожденные случаи:
1) :
– точка
.
– мнимый эллипс.
2) :
или
– пара пересекающихся прямых:
3) :
или
– пара мнимых прямых, пара параллельных прямых.
4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора.
Обозначим единичные векторы координатных осей соответственно ,
,
.
,
,
,
. Любой вектор
может быть единственным способом разложен на составляющие по координатным осям:
,
,
,
.
Числа ,
,
проекции вектора на оси координат, называются координатами вектора
в базисе
.