Характеристики выборочного среднего и выборочной дисперсии.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию от и
.
1. ,
где – математическое ожидание генеральной совокупности
.
2. ,
где – дисперсия генеральной совокупности
.
3.
,
4.
Здесь – теоретический центральный момент
–го порядка.
Основные распределения математической статистики
Среди всех распределений, существующих в теории вероятностей, выделим те из них, которые часто используются в статистике. Основными такими распределениями являются следующие: нормальное (гауссовское), хи-квадрат, Стьюдента и Фишера-Снедекора. Опишем кратко эти распределения.
Нормальное распределение уже известно из теории вероятностей. Оно является непрерывным с плотностью распределения случайной величины
вида:
,
,
где – это математическое ожидание распределения, а
– среднее квадратическое отклонение, т.е.
,
(дисперсия нормального распределения).
Обозначение: ~
.
С нормальным распределением связаны несколько новых видов распределений. В первую очередь это распределение (хи-квадрат), распределение Стьюдента (
–распределение) и
–распределение (распределение Фишера-Снедекора). Опишем эти распределения.
Распределение хи-квадрат.
Пусть случайные величины ,
, …,
– независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е.
~
. Случайная величина
, определенная как
,
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Случайная величина
принимает только положительные значения и ее плотность распределения
определяется формулой:
,
.
где есть гамма-функция.
Отметим, что показательное распределение с параметром
будет распределением хи-квадрат с двумя степенями свободы.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
,
.
Распределение Стьюдента.
Пусть случайные величины ,
,
, …,
– независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение, т.е.
~
. Случайная величина
, определенная как
,
имеет распределение Стьюдента ( -распределение) с
степенями свободы. Плотность распределения случайной величины
имеет вид:
,
.
-распределение симметрично относительно
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
,
.
При больших
-распределение будет близко к стандартному нормальному распределению.
Распределение Фишера.
Пусть ,
, …,
;
, …,
являются независимыми случайными величинами, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону
.
Случайная величина , определенная как
,
имеет распределение Фишера ( –распределение) с параметрами
и
. Натуральные числа
и
называют числами степеней свободы.
–распределение называют еще иногда распределением дисперсионного отношения. Плотность распределения случайной величины
имеет следующий вид:
,
.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны:
для
,
для
.
Квантили распределения Фишера порядка и
связаны следующей формулой:
.