Уравнения в полных дифференциалах. Способы их решения. Пример.

Дифференциально уравнение с разделенными и разделяющимися переменными. Дифференциально уравнение, сводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными. Способы их решения. Примеры.

Пример 1) уравнения , удовлетворяющего условию Решение. .

Пример 2) Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию .Решение. а) Общий интеграл. Делим на . .

отсюда или – общий интеграл. б) Частное решение. Частное решение: . с) Особое решение.

Возможна потеря решений . Оба эти решения особые.

Однородные дифференциально уравнение первого порядка. Дифференциально уравнение, сводящиеся к однородным уравнения первого порядка. Способы их решения. Примеры.

Пример. Решить уравнение .Решение. Уравнение однородное. Полагаем . .Если , то . Отсюда . – общий интеграл. Может быть потеряно решение или . Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно есть особое решение.

60. Линейные дифференциально уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли, способы их решения: метод вариации произвольной постоянной, метод постановки. Примеры. Пример. или .

Это уравнение Бернулли. Здесь . Преобразуем уравнение, разделив его на : .

Положим , тогда . Следовательно, или . Отсюда .

и – особое решение. Пример. Написать общее решение уравнения . Решение. Имеем . Поэтому (произвольную постоянную можно считать = 0). И – общее решение. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение Для его интегрирования применим метод вариации произвольной постоянной. Положим Здесь решение ищется в такой же форме, как для однородного уравнения, но вместо произвольной постоянной стоит функция – новая неизвестная функция. Для ее определения подставляем y, определенное

или .

Отсюда Следовательно, .

Это и есть общее решение уравнения. Оно содержит все решения. Особых решений нет.

Уравнения в полных дифференциалах. Способы их решения. Пример.