Теорема 3.1.2 (нерівність Коші-Буняковського). Для кожної пари векторів х і у з евклідового простору V .
Назвемо кутом між векторами х і у таке дійсне число а, для якого .
Твердження 3.1.3. Довжина ((х)) вектора х має такі властивості:
1) = 0 ó x = 0;
2) =
,
E R;
3) (нерівність трикутника).
Вектори х і у евклідового простору V називають ортогональними, якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю. Систему ненульових векторів евклідового простору називають ортогональною, якщо кожні два вектори цієї системи ортогональні.
Теорема 3.1.4 (про ортогональність). Нехай а ,…,а
– лінійно незалежна система векторів евклідового простору V. Тоді для кожного і, 1
i
k існує ортогональна система векторів b1,…,bi така, що лінійна оболонка L(b
,…,b
) дорівнює L(а
,…,a
).
Теорема 3.1.5. Ортогональна система векторів лінійно незалежна.
Означення 3.1.5. База а1,…ап скінченно вимірного лінійного простору називається ортогональною, якщо кожні два вектори цієї бази ортогональні.
Теорема 3.1.6. У кожному скінченновимірному евклідовому просторі існують ортогональні бази.
Означення 3.1.6. Систему веторів е ,…,е
називають ортонормованою, якщо ця система ортогональна і
= 1 для всіх і 1
.
Для ортонормованих векторів е ,...,е
якщо:
де - символ Кронекера
Теорема 3.1.7. У кожному скінченнвимірному евклідовому просторі існують ортонормовані бази.
Теорема 3.1.8. Скалярний добуток векторів евклідового простору дорівнює сумі добутків відповіднх координат цих векторів стосовно будь-якої ортонормованої бази.
Унітарні простори
Означення 3.2.1. Лінійний простір V над полем комплексних чисел С називають унітарним простором, якщо в ньому визначено скалярний добуток, тобто відображення V V
C, яке кожній впорядкованій парі векторів а,b
V ставить у відповідність комплексне число (a, b)
C. Це відображення задовольняє такі аксіоми:
1)
(риска означає перехід до комплексно спряженого числа);
2)
3)
;
4)
;
З аксіом унітарного простору випливають такі наслідки:
а)
Справді,
б)
Справді,
Вектори унітарного простору V Називаються ортогональними, якщо (х, у) = 0.
В унітарному просторі V можна означити довжину вектора . Довжина
має ті самі властивості, що й довжина вектора у евклідовому просторі.
Основні приклади унітарних та евклідових просторів :
- Чи можна в лінійному просторі матриць М2×2 () ввести скалярний добуток за формулою (А, В)= a1a2-b1b2+c1c2-d1d2, де
a1 b1
А = c1 d1
a2 b2
B = c2 d2
Розв’язання :
Не можна, оскільки не виконується аксіома 5 скалярного добутку. Дійсно для матриці А = матимемо (А, А)=1-1=0, хоча А¹0.
2. Довести, що в просторі Р2(х) многочленів, із дійсними коефіцієнтами зі степенем не вищем від 2, скалярний добуток можна ввести за формулою (f, g)=f(-1)g(-1)+f(0)g(0)+f(1)g(1).
1) Перевіримо, що (f, g)=(f, g), де є
2) Для довільного многочлена f(x) маємо (f, f)=f2(-1)+f2(0)+f2(1) 0
3) Покажемо, що якщо (f, f)=0, то f=0. Нехай (f, f)=0, тобто
f2(-1)+f2(0)+f2(1)=0. Звідси отримаємо, що f(-1)=f(0)=f(1)=0. Оскільки степінь многочленна не перевищує 2, то він має не більш ніж два корені. Отже, f(x)=0, тобто f(x) –нульовий елемент простору Р2(х).
Нормою вектора є L називається число || a ||
-норма
Зауваження:
|| a ||=0 a=оL
Нерівність Коші Буняковського
Для будь-яких векторів унітарного простору модуль їх скалярного добутку за їх норми: | (a, b) |=||a||×||b||
Доведення:
1) b=oL (a, b)=0, ||a||×||b||=0, 0=0
2) b¹oL (a-b)=(a-b, a-b)0
" є С
(a, a)-(a, b)-(b, a)+(b, b)0
|| a ||×|| b ||| (a, b) |
Рівність у нерівності Коші Буняковського буде досягатись коли вектори і
-лінійно залежні. Тому доведення другої частини базується на розгляді того, що вектори
і
лінійно залежні a=b і лінійно залежні, якщо " a-b¹
, тобто (a-b, a-b)0
Приклад 4. Довести нерівність трикутника.
Доведення:
Використовуючи нерівність Коші - Буняковського
,
одержимо
Залишається добути квадратний корінь.
Приклад 5. Довести теорему Піфагора: якщо вектори та
ортогональні, то
.
Доведення:
Оскільки вектори ,
ортогональні, то
. Отже,
.