Ортогональні підпростори та ортогональні доповнення

Нехай U – підпростір евклідового (унітарного) простору V. Ортогональними доповненнями простору U називають множину тих векторів x V, для яких (х, u) = 0 для кожного вектора u U.

Легко переконатися в тому, що для довільної підмножини А V множина

є підпросторами простору і для кожного .

Зокрема, - піпростір простору V.

Два простори та називають ортогональними, якщо

Для довільних векторів та .

Зрозуміло, що U i - ортогональні підпростори.

Теорема 3.2.2. Евклідовий (унітарний) простір V розкладається у пряму суму довільного свого підпростору U та його ортогонального доповнення .

Приклад 6. Застосовуючи процес ортогоналізації, побудувати ортогональну базу лінійної оболонки векторів , , , .

Розв’язання. Як відомо, процес ортогоналізації застосований лише до лінійно незалежних систем векторів. Тому починати процес слід з перевірки даної системи на лінійну залежність. Складаємо матрицю з координат даних векторів і знаходимо її ранг

Отже, і вектори утворюють лінійно незалежну систему.

За перший вектор візьмемо :

Вектор шукатимемо у вигляді

Підбираємо так, щоб були ортогональними:

Звідси

Але , , значить, , і

Вектор , очевидно також ортогональний до вектора , але має цілі координати. Тому як зручніше брати не , а

Отже, = .

Далі записуємо

і підбираємо так, щоб був ортогональним до і

Але , , , ,

Вектор , очевидно, також ортогональний до векторів , . Тому візьмемо

Отже ми одержали ортогональну базу даної лінійної оболонки :

Ортогональним доповненням підпростору L₁ простору L називається множина всіх векторів простору L , які ортогональні до кожного вектора з L₁.

Приклад. 7 Базисом простору L трьох вимірного евклідового простору V є система векторів =(1,1,2), =(1,1,1).Знайти ортогональну проекцыю і ортогональну складову вектора =(1,2,1) на підпросторі L.Координати векторів дані в ортонормованому базисі простору V.

Розв'язок. Перш за все зноходим скалярний добутку ( , )=5;( , )=4;( , )=6;( , )=4;( , )=3.

Звідси отримуємо наступну систему лінійних рівнянь:

6₁+4₂=5;

4₁+3₂=4.

Розвязоючи її знаходим, що ₁=-1/2;₂=2,звідки

=-1/2 +2 =(3/2,3/2,1); = - =(-1/2,1/2,0).

Деякі задачі пов’язані з поняттям ортогональної складової і ортогональної проекції х евклідового простору V на даний простір L.

Вектор з L називається ортогональною проекцією x на L = - ортогональної складової , або ортогональний до всіх векторів простору L топто ортогональний до L. Покажем, як знаходити і .

Нехай ,…, деякий базис простору L.

Тоді, очевидно, що кожний вектор, ортогональний L , буде ортогональнй до кожного вектора базису _,…, . Таким чином отримаємо ,що ( , )=0, або ( - , )=0, або, нарешті,( , )=( , ),i=1,…,m. Після опису вектора в вигляді ₌₁ +…+_m _,систему рівнянь( ; )=( , ) можна записати в розгорнутому виді ( , )₁+…+(_m, )_m=( , ), i=1,…,m.

Вийшла система з m лінійних рівнянь з m невідомими. Так як визначник матриці відмінний від нуля , то система рівнянь сумісна і має єдиний розв’язок. Якщо a₁,…,a_m ортонормований базис простору L ,то _i=( , ).

Покажем ще , що довжина ортогональної проекції = - вектора на підпросторі L є найменша з відстаней між і будьяким вектором з L. Насправді,так як ортогонально L,то за теоремою

Піфагора, ²( , )=² ( , )+²( , )>=²( , ),звідки випливає,що ( ,)>=( , ).

Відстань ( , ) називається зазвичай відстанню між вектором і підпростором L. Приклад 5. Використовуючи процес ортогоналізації ,перетворити базис простору L

=(1,-1,0,0); = (0,1,-1,0);

=(0,0,1,-1); =(1,0,0,1)

в ортонормований базис.

Розв’язування. Покажем перш за все, що функція (x,y), визначається за формулою (1), насправді виявляється скалярним добутком векторів даного простору. Ясно,що матриця А = з коефіцієнтів виразу (1) є симетричним. Далі можна впевнитись, що квадратна форма (x,x) = ²₁ – 2 ₁ ₂ +2 ²₂-2 ₂ ₃+2 ²₃-2 ₃ ₄+2 ²₄= (₁- ₂)²+(₂- ₃)²+(₃- ₄)²+ ²₄. Таким чином, (x,x)>=0 при будь-яких дійсних значеннях ₁, ₂, ₃, ₄, при чому (х,х)=0 тільки тоді, коли ₁- ₂=0; ₂- ₃=0; ₃-₄=0; ₄=0, тобто, коли ₄= ₃= ₂=₁=0. Ми бачим, що квадратна форма (х,х) є додатньо визначеною. Тепер підійдемо до процесу ортогоналізації. Припустимо, =; =+ , де довільне число. Підбираємо так, щоб і стали ортогональними:

( , )=(,+e₁)=(,)+(,), звідки =-(,)/(,).Але

(,)=5;(,)=-4,відповідно =4/5 і =+4/5 =

=(4/5,1/5,-1,0).Вектор 5 =(4,1,-1,0) відповідно також ортогональний до вектора ,але має чілі координати.Тому в якості добре брати не (4/5,1/5,-1,0),а (4,1,-1,0).Тобто припустим (4,1,-5,0).

Далі припустимо =+₂ +₁ і підбираєм ₁,₂ так щоб u₃ став ортогональним до і : ( , )=( +₂ +₁ )=( ,)+₂( , )+₁( , )=(,)+ +₁(,)=0;

₁= (,)/(,);

( , )=( ,+₂ +₁ )=( ,)+ +₂( , )+₁( , )= ( ,)+₂( , )=0; ₂=( _,)/ ( , ) .

Так як, згідно з формулою (1),

(,)=5; (,)=1;( , )=70; ( , )=-16,

₁= - ; ₂= i =- + =( , ,- ,-1).

Вектор 7 =(5,3,-1,-7) , очевидно , також ортогональний до векторів , .Тому припустимо =(5,3,-1,-7).

На кінець, підбираєм числа ₁, ₂, ₃ так , щоб вектор =+

+₃ + ₂ +₁ став ортогональним до векторів , , .

Опустивши деякі очевидні деталі ,отримаємо

( , )=( ,)+₁( , )=0;

( , )=( ,)+₂( , )=0;

( , )=( ,)+₃( , )=0.

Звідки ₁=- ; ₂=- ;₃= і =( , , , ).

Замість цього вектора можна вз’яти вектор 15 =(10,9,7,4),також ортогональний до , , .Тому отримаємо =(10,9,7,4).І так ми отримали ортогональний базис простору : =(1,-1,0,0); =(4,1,-5,0); =(5,3,-1,-7); =

=(10,9,7,4).Нормуєм вектори , , , , в результаті чого прийдемо до ортонормованого базису:

V₁= / = =( ,- ,0,0);