Екі тзу арасындаы брыш. Параллельдік жне перпендикулярлы шарттары. Нктеден тзуге дейінгі ашытыы.

d1 жне d2 тзулері здеріні сйкес жалпы тедеулері арылы берілсін дейік:

А1х+В1у+С=0, А2х+В2у+С=0

Брышты коэффициенттері к1= , к2=

Егер d1 ÷÷ d2, онда к1 = к2.

Егер d1 d2, онда к1 = .

Екі тзу арасындаы брыш tg .

M(x0,y0) нктеден тзуге дейінгі ашытыы d=

айталау сратары:

Жазытытаы тзді тедеулері.

Екі тзу арасындаы брыш.

Параллельдік жне перпендикулярлы шарттары.

Нктеден тзуге дейінгі ашытыы.

 

дебиеті: [1], [3], [4].

 

Дріс 16-17.

Таырып:Екінші ретті сызытар жне оларды канонды тедеулері. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Масаты:Екінші ретті сызытар, оларды кононды тедеулерін арастыру.

арастыратын сратар:

1 Жазытытаы екінші ретті сызытар.

2 Шебер.

3 Эллипс, оны асиеттері.

4 Гипербола, оны асиеттері.

5 Парабола, оны асиеттері

 

 

Екінші ретті сызы тмендегі тедеу арылы беріледі:

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

 

Бл тедеу тменде келтірілген тедеулерді біріне келтірілетіндей координаталар жйесі (тік брышты болуы міндетті емес) болуы ммкін.

 

1) - эллипсті тедеуі.

2) - “жорамал” эллипсті тедеуі.

3) - гиперболаны тедеуі.

4) a2x2 – c2y2 = 0 – екі иылысушы тзуді тедеуі.

5) y2 = 2px –параболаны тедеуі.

6) y2 – a2 = 0 –екі параллель тзуді тедеуі.

7) y2 + a2 = 0 –“жорамал” екі параллель тзулерді тедеуі.

8) y2 = 0 – беттесуші тзулер.

9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 –шеберді тедеуі.

 

Шебер.

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) шеберді центріні координаталары (a; b) болады.

Мысал. 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0 тедеуі арылы берілген шеберді центріні координаталары мен радиусын тап. .

Шешу. Шеберді центрі мен радиусын табу шін тедеуді (1) тедеу тріне келтіріп аламыз. Ол шін тедеуді сол жаындаы кпмшені толы квадратын блеміз.

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

 

Бл тедеуден мынаны табамыз: О(2; -5/4); R = 11/4.

 

 

Эллипс жне оны асиеттері

Анытама. Эллипсдеп фокустары деп аталатын нктелерден ашытытарыны осындысы сол фокустары араашытыынан (F1F2 = 2c) арты болатын траты 2а санына те болатын жазытытаы нктелерді геометриялы орнын айтады, оны былайша белгілейді:

F1М + F2М = 2а (2) .

 

у


М

r1

r2

F1 O F2

 

F1, F2 – эллипсті фокустары. F1 = (-c; 0); F2(c; 0), F1F2 = 2c.

с – фокустары ар ашытыыны жартысы; 2а - траты шама. F1М жне F2М ашытытарын r1= F1М, r2= F2М деп белгілесек, онда (2) тедік мына трде жазылады:

r1 + r2 = 2а (21)

Екі нктені ара ашытыыны формуласы бойынша:

.

Бл тедеуді трлендіріп, эллипсті жабайы (канонды) тедеуін табайы:

х 2+2сх+с2+ у2 = 4а2 – 4а

а тедікті екі жаын а - а бліп, квадраттайы:

х2 -2сх+с2+у2 = (а -

х2 -2сх+с2+у2 =

а2х2+а2у2+а2с2= а4 + с2х2,

(а2- с2) х2+а2у2+ = а2 ( а2 - с2),

а> с боландытан, а2 - с2> 0 болады, сондытан а2 - с2= в2 (3) деп белгілейміз.

 

Сонда в2 х2+а2у2+ = а2 в2 шыады, осыдан (4), мндаы х пен у -

эллипсті бойындаы кез келген нктелерді координаталары, а – эллипсті лкен жарты сі, в – оны кіші жарты сі. (4) тедеу эллипсті жабайы (канонды) тедеуі деп аталады.

Теорема. Эллипсті фокусты ара ашытыы мен жарты стері мынадай атынас бойынша байланысады:

a2 = b2 + c2.

Дэлелдеу: Егер М нкте эллипсті вертикаль осьпен иылысу нктесінде болса, онда r1 + r2 = 2 ( Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нкте эллипсті горизонталь осьпен иылысу нктесінде болса, онда r1 + r2 = a – c + a + c. Эллипсті анытамасы бойынша r1 + r2 – осынды траты шама, ендеше жоарыдаы екі тедікті теестіріп, мынадай тедік аламыз:

a2 = b2 + c2 .

Анытама. = с/a атынас эллипсті эксцентриситеті деп аталады. с < a

боландытан, < 1 болады.