Дифференциальное и интегральное исчисление

Линейная алгебра

 

ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда существует произведение матриц …

 

Решение:
Произведением матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Проверим выполнение данного условия:
1) Для произведения условие не выполнено, так как у матрицы B один столбец, а у матрицы A две строки.
2) Для произведения условие не выполнено, так как у матрицы C два столбца, а у матрицы B три строки.
3) Для произведения условие не выполнено, так как у матрицы A три столбца, а у матрицы C две строки.
4) Для произведения условие выполнено, так как размерность матрицы C – 2×2, матрицы A – 2×3 и матрицы B – 3×1. То есть число столбцов матрицы C равно числу строк матрицы A, а число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

 

 

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

			–
			–1

 

Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть Следовательно,

 

ЗАДАНИЕ N 22 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Обратная матрица существует для матрицы …

 

Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда
1) , то есть обратная матрица не существует.
2) , то есть обратная матрица не существует.
3) , то есть обратная матрица не существует.
4) , следовательно, обратная матрица существует.

 

ЗАДАНИЕ N 23 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …

 

Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда .

 

ЗАДАНИЕ N 24 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Единственное решение имеет однородная система линейных алгебраических уравнений …

 

Решение:
Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет одно единственное решение, если ее определитель не равен нулю.
1) Из системы , получим так как столбцы пропорциональны.
2) Из системы , получим так как строки пропорциональны.
3) Из системы , получим так как строки пропорциональны.
4). Из системы , получим следовательно, система имеет одно единственное решение.

 

 

ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Вычисление определителей
Корень уравнения равен …

			– 1
			– 4

 

Решение:
Определитель второго порядка вычисляется по формуле:
. Тогда По условию задачи определитель должен равняться 0, то есть Следовательно,

 

 

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Для матрицы не существует обратной, если значение равно …

			– 2

 

Решение:
Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть Тогда обратной матрицы не существует при

 

 

ЗАДАНИЕ N 13 сообщить об ошибке
Тема: Обратная матрица
Обратная матрица существует для матрицы …

 

Решение:
Всякая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу, то есть матрица имеет обратную, если определитель матрицы не равен нулю. Тогда
1) , то есть обратная матрица не существует.
2) , то есть обратная матрица не существует.
3) , то есть обратная матрица не существует.
4) , следовательно, обратная матрица существует.

 

 

ЗАДАНИЕ N 15 сообщить об ошибке
Тема: Умножение матриц
Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид …

 

Решение:
Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда .

 

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений не имеет решений, если равно …

			2,4
			– 2,4

 

Решение:
Система линейных уравнений не имеет решений, если определитель матрицы системы равен нулю, а хотя бы один из определителей или нулю не равен.
Например, Следовательно, система не имеет решений, когда и

 

Аналитическая геометрия

 

ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Квадратичные формы
Матрица квадратичной формы

имеет вид …

 

Решение:
Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали. Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т.е. , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы
Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей

 

 

ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Расстояние от точки до прямой равно …

 

Решение:
Расстояние от точки до прямой найдем по формуле .

 

ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Даны уравнения поверхностей второго порядка:
А)
B)
C)
D)
Тогда однополостный гиперболоид задается уравнением …

			D
			A
			C
			B

 

Решение:
Так как каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид , то искомое уравнение может иметь вид: .

 

ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Даны точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид …

 

Решение:
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид или .

 

ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка симметрична точке относительно точки . Тогда координаты точки равны …

 

Решение:
Точка является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия , или , . Тогда координаты точки равны .

 

ЗАДАНИЕ N 31 сообщить об ошибке
Тема: Полярные координаты на плоскости
В полярной системе координат заданы две точки и Тогда расстояние между ними равно …

 

Решение:
Точки и лежат на одной прямой и отстоят от полюса на расстояния 2 и 7 соответственно. Следовательно, длина образованного ими отрезка

 

 

ЗАДАНИЕ N 29 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка симметрична точке относительно точки . Тогда координаты точки равны …

 

Решение:
Точка является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия , или , . Тогда координаты точки равны .

 

ЗАДАНИЕ N 30 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Уравнение в пространстве определяет …

			параболоид
			эллипсоид
			однополостный гиперболоид
			цилиндр

 

Решение:
Уравнение вида в пространстве определяет параболоид.

 

ЗАДАНИЕ N 32 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Угловой коэффициент прямой, заданной уравнением , равен …

 

Решение:
Выразим из уравнения переменную , а именно . Тогда угловой коэффициент .

 

 

ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Прямоугольные координаты на плоскости
Точка симметрична точке относительно точки . Тогда координаты точки равны …

 

Решение:
Точка является серединой отрезка . То есть должны выполняться условия , или , . Тогда координаты точки равны .

 

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Прямая на плоскости
Прямая проходит через точки и . Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …

 

Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид . То есть , , или .

 

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Прямая и плоскость в пространстве
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид …

 

Решение:
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеют вид
Тогда или

 

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Поверхности второго порядка
Координаты центра эллипсоида равны …

 

Решение:
Координаты центра эллипсоида равны То есть это точка

 

 

Дифференциальное и интегральное исчисление

 

ЗАДАНИЕ N 36 сообщить об ошибке
Тема: Свойства определенного интеграла
Среднее значение функции на отрезке равно …

 

Решение:
Среднее значение функции непрерывной на отрезке вычисляется по формуле где Тогда

 

 

ЗАДАНИЕ N 17 сообщить об ошибке
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

 

Решение:
Для вычисления данного определенного интеграла произведем замену переменных: , , , и перейдем к новым пределам интегрирования: , .
Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 18 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Полный дифференциал функции имеет вид …

 

Решение:
Полный дифференциал функции нескольких переменных равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных, то есть
.
Тогда

 

ЗАДАНИЕ N 37 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Приближенное значение функции в точке вычисленное с помощью полного дифференциала, равно …

			0,51
			1,71
			4,29
			0,45

 

Решение:
Воспользуемся формулой
где
Вычислим последовательно



Тогда

 

 

ЗАДАНИЕ N 19 сообщить об ошибке
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …

 

Решение:
.

 

ЗАДАНИЕ N 20 сообщить об ошибке
Тема: Предел функции
Предел равен …

 

Решение:

Для раскрытия этой неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на :

 

 

ЗАДАНИЕ N 14 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная функции имеет вид …

 

Решение:
При вычислении частной производной по переменной , переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда

 

 

ЗАДАНИЕ N 16 сообщить об ошибке
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

 

Решение:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: , где – первообразная функции .
Тогда

 

 

ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке
Тема: Предел функции
Предел равен …

 

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на линейные множители как
и .

.

 

ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке
Тема: Методы вычисления определенного интеграла
Определенный интеграл равен …

 

Решение:
Для вычисления определенного интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница: , где – первообразная функции .
Тогда
.

 

ЗАДАНИЕ N 11 сообщить об ошибке
Тема: Производные первого порядка
Производная функции равна …

 

Решение:

.

 

ЗАДАНИЕ N 12 сообщить об ошибке
Тема: Дифференциальное исчисление ФНП
Частная производная второго порядка функции имеет вид …

 

Решение:
При вычислении частной производной функции по одной из переменных другую переменную рассматриваем как постоянную величину. Тогда
и

 

 

Ряды

 

ЗАДАНИЕ N 21 сообщить об ошибке
Тема: Область сходимости степенного ряда
Область сходимости степенного ряда имеет вид …