Предел функции. Свойства пределов

Если при вычислении предела последовательности всегда , то, вычисляя предел функции , следует оговаривать, к чему стремится ее аргумент. Рассмотрим, в чем различие между пределами последовательности и функции . Если в последовательности возрастает, принимая только значения из множества натуральных чисел, то может возрастать, принимая любые вещественные значения. Пределы последовательности и функции в этом случае равны нулю. В то же время имеет смысл рассмотреть предел . Стоящая под знаком предела функция увеличивается с приближением ее аргумента к нулю, оставаясь положительной, причем, при сколь угодно близких к нулю, ее значение становится все большим и большим. Ясно, что . Поскольку при рассматриваемая функция не существует, этот ее предел дает важнейшую информацию – показывает поведение функции в окрестности предельной точки. При подходе к этой точке она уходит в бесконечность. Можно рассматривать предел этой функции и при , стремящемуся к любому другому значению, например , но этот предел вычислять не имеет смысла, поскольку известно значение функции, как в самой точке, так и в ее окрестности.

Основной вывод. Если предел последовательности вычисляется всегда при , то предел функции зависит от того, к какому значению стремится ее аргумент.

Определение 1. Число называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента , стремящейся к , соответствующая ей функциональная последовательность сходится к .

Определение 1а. Число называется пределом функции при , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая ей функциональная последовательность сходится к .

Обозначение предела функции . На рисунке изображены три последовательности , стремящиеся к a.

В первой все ее члены больше a, и мы подходим к точке a справа, во второй все элементы меньше предельного значения аргумента, подходим к точке a слева, в третьей элементы последовательности расположены как слева, так и справа от предельного значения a. Соответствующие им функциональные последовательности во всех трех случаях стремятся к b. Если для любой другой последовательности , стремящиеся к a, последовательность также стремится к b, то предел функции равен этому числу, что видно из рисунка.

Определение 2. Число называется пределом функции при , если .

Словесная формулировка приведенной фразы такова: число

называется пределом функции

при

, если для любого положительного

существует такое

, что при выполнении неравенства

выполняется неравенство

Определение 2а. Число

называется пределом функции

при

, если

Доказана эквивалентность этих двух определений, то есть из 1 следует 2, и наоборот.

Пример. Покажем, что

Из определения 2 предела функции следует, что

если

, то

Значит, если для любого значения мы найдем соответствующие , то мы докажем, что

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиальную меру угла MOB через x. Рассмотрим случай x > 0. Очевидно, что

Рассмотрим треугольник и сектор

, т.е. .

Очевидно, что при x < 0 будет .

Так как , то - мы нашли. Значит, из определения предела функции следует, что

Как мы уже говорили, в определении предела функции считается, что x стремится к a любым способом. Бывают случаи, когда способ приближения аргумента x к a существенно влияет на значение предела функции, поэтому вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 3. Число называется левым пределом функции при (пределом слева), если

Обозначение .

Определение 4. Число называется правым пределом функции при (пределом справа), если

Обозначение .

Очевидно, что если и , причем .

Пример. Вычислим . Поскольку , показатель степени отрицательный, следовательно, . Теперь показатель степени положительный и при стремится к , ясно, что левый предел этой функции при равен нулю. В то же время правый предел , так как показатель степени положителен и стремится к .

Очевидно, не существует, так как при подходе к предельному значению аргумента слева и справа получаем разные значения, и определение 1 не выполняется.

Свойства пределов

1) Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из первого определения предела.

2) Постоянную можно выносить за знак предела.

В самом деле, пусть , в соответствии с теоремой , причем Очевидно, , где постоянная, но - бесконечно малая при , что следует из свойств бесконечно малых, тогда функция отличается от , следовательно, .

3) Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если

они существуют.

Пусть и , тогда и , где и , тогда . Но подчеркнутые члены – есть бесконечно малая, и

4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов,

если они существуют (доказывается аналогично).

5) , если оба предела существуют и .

6) Если , то .

7) Принцип двух милиционеров.

Если и , то .

Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел .

Доказательство: Возьмем круг радиуса 1, обозначим радиальную меру угла MOB через t. Функция четная, т.к.

По условию и отношение положительно при любом знаке t, следовательно, достаточно рассмотреть значения t, удовлетворяющие неравенствам .

Очевидно, что

Рассмотрим треугольники и сектор Очевидно имеем

Поделим все на , тогда

Так как, и , то по принципу двух милиционеров .

2. Второй замечательный предел (без вывода)

Вопрос 29.

Непрерывность функции

Определение 1. Пусть функция в точке a и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке , если предел этой функции при равен значению функции в предельной точке, то есть .

Определение 2. Функция непрерывна в точке , если .

Замечание. Эти определения эквивалентны, поскольку опираются на два эквивалентные определения предела.

Определение 3. Функция непрерывна в точке , если , где приращение аргумента функции , а - есть приращение функции, соответствующее приращению ее аргумента .

Доказательство следует из первого определения непрерывной функции

, здесь первый из пределов вычисляется с помощью определения 1, второй – как предел постоянной, поскольку не зависит от .

Определение 4. Функция непрерывна в точке , если

Определение 5. Функция непрерывна в некоторой области, если она непрерывна во всех точках этой области.