Алгебраические операции и их свойства
Операции над множествами их свойства.

Операции
|
ОБЪЕДИНЕНИЕ
|
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
|
РАЗНОСТЬ
|
ДОПОЛНЕНИЕ
|
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
|
Определение
|
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств.
хÎ АÈВ Û х ÎА или хÎ В
|
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из данных множеств.
х Î АÇВ Û х Î А и х Î В
|
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих во множество А, но не входящих во множество В.
хÎ А\ В Û х Î А и х Ï В
|
Дополнением множества. В до множества А, при условии, что В является подмножеством А, называется множество, состоящее из элементов, входящих во множество А, но не входящих во множество В.
при В Í А
хÎ Û хÎ А и хÏ В
|
Декартовым произведением множеств А и В, называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первой компонентой является элемент множества А, а второй – элемент множества В.
А´В ={(а;b)| аÎА и bÎ В}
|
Графическое изображение
|
А
В
А È В
|
А
В
А Ç В
|
А
В
А \ В
|
А
В
|
А ´ В
|
Д и а г р а м м ы Э й л е р а - В е н н а
|
график
|
Операции
|
ОБЪЕДИНЕНИЕ
|
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ
|
РАЗНОСТЬ
|
ДОПОЛНЕНИЕ
|
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ
|
Свойства операций
| А È В = В È А
(А È В) È С = А È (В È С)
(АÈВ)ÇС=(А ÇС) È (ВÇС)
(АÇВ)ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС)
(АÈВ)\ С=(А\ С)È(В \ С)
(АÈВ)´С =(А´С)È(В´С)
С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\В)
С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В)
| А Ç В = В Ç А
(А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) (АÈВ)ÇС=(АÇС) È (ВÇС)
(АÇВ)ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС)
(АÇВ)\С=(А\С)Ç(В\С)
(А\ В)ÇС=(АÇС)\ (ВÇС)
(АÇВ)´С=(А´С)Ç(В´С)
С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\ В)
|
(АÈВ)\ С=(А\С)È(В\С)
(АÇВ)\С=(А\С)Ç(В\С)
(А\ В)ÇС=(АÇС)\ (ВÇС)
(А\ В)´С = (А´С) \ (В´С)
С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В)
С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\ В)
| В Ë А, - не существует
(АÈВ) A Ç B
(АÇВ) A È B
|
(АÈВ)´С =(А´С)È(В´С)
(АÇВ)´С=(А´С)Ç(В´С)
(А\ В)´С = (А´С)\ (В´С)
|
Частные случаи
| А ÈÆ = Æ È А = А
А ÈА = А È А = А
АÌВ, А È В = В
| АÇ Æ =Æ Ç А = Æ
АÇ А =А Ç А = А
АÌВ, А Ç В = А
| А\ Æ = А
Æ\ А = Æ
А\ А = Æ
АÌВ, А\ В = Æ
В\ А =
| A = Æ
Æ = А
|
|
Логические операции и их свойства

Операции
|
КОНЪЮНКЦИЯ
|
ДИЗЪЮНКЦИЯ
|
ОТРИЦАНИЕ
|
ИМПЛИКАЦИЯ
|
ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
| |
Логическая связка
|
…и …
|
…или…
|
Неверно, что…
|
Если…, то…
|
… тогда и только тогда, когда …
| |
Символ
|
Ù
|
Ù
|
Ø, `
|
Þ
|
Û
| |
над высказываниями:
| |
Определение
| Конъюнкцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «и», и истинное только когда истинны все составляющие его высказывания.
| Дизъюнкцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «или», и истинное когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний.
| Отрицанием высказывания называется составное высказывание, полученное из элементарного высказывания при помощи логической связки «не», и истинное когда исходное высказывание ложно.
| Импликацией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «если…, то… », и ложное только когда первое высказывание истинно, а второе высказывание – ложно.
| Эквиваленцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «..тогда и только тогда, когда..», и истинное когда составляющие его высказывания имеют одинаковое значение истинности.
| |
Таблица истинности
|
|
|
|
|
| |
над высказывательными формами:
| |
Определение
| Конъюнкцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «и», и принимающая значение истины только когда становятся истинными высказываниями все составляющие его высказывательные формы.
| Дизъюнкцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «или», и принимающая значение истины когда становится истинным высказыванием хотя бы одна из составляющих его высказывательных форм.
| Отрицанием высказывательной формы называется составная высказывательная форма, полученная из элементарной при помощи логической связки «не», и принимающая значение истины когда исходная высказывательная форма становится ложным высказыванием.
| Импликацией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «если.., то..», и принимающая значение лжи только когда первая высказывательная форма становится истинным высказыванием, а вторая высказывательная форма –ложным высказыванием.
| Эквиваленцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки ««..тогда и только тогда, когда..», и принимающая значение истины когда составляющие его высказывательные формы становятся высказываниями с одинаковым значением истинности
| |
Множество истинности
|
Х
ТА
ТВ
ТАÙВ = ТА Ç ТВ
|