Алгебраические операции и их свойства
Операции над множествами их свойства.
Операции | ОБЪЕДИНЕНИЕ | ПЕРЕСЕЧЕНИЕ | РАЗНОСТЬ | ДОПОЛНЕНИЕ | ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ | |||
Определение | Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих хотя бы в одно из данных множеств. хÎ АÈВ Û х ÎА или хÎ В | Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих в каждое из данных множеств. х Î АÇВ Û х Î А и х Î В | Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, входящих во множество А, но не входящих во множество В. хÎ А\ В Û х Î А и х Ï В |
Дополнением множества. В до множества А, при условии, что В является подмножеством А, называется множество, состоящее из элементов, входящих во множество А, но не входящих во множество В.
при В Í А
хÎ ![]() | Декартовым произведением множеств А и В, называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первой компонентой является элемент множества А, а второй – элемент множества В. А´В ={(а;b)| аÎА и bÎ В} | |||
Графическое изображение |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() |
А ´ В
| |||
Д и а г р а м м ы Э й л е р а - В е н н а | график | |||||||
Операции | ОБЪЕДИНЕНИЕ | ПЕРЕСЕЧЕНИЕ | РАЗНОСТЬ | ДОПОЛНЕНИЕ | ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ | |||
Свойства операций | А È В = В È А (А È В) È С = А È (В È С) (АÈВ)ÇС=(А ÇС) È (ВÇС) (АÇВ)ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС) (АÈВ)\ С=(А\ С)È(В \ С) (АÈВ)´С =(А´С)È(В´С) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\В) С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В) | А Ç В = В Ç А (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С) (АÈВ)ÇС=(АÇС) È (ВÇС) (АÇВ)ÈС=(АÈС)Ç(ВÈС) (АÇВ)\С=(А\С)Ç(В\С) (А\ В)ÇС=(АÇС)\ (ВÇС) (АÇВ)´С=(А´С)Ç(В´С) С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\ В) | (АÈВ)\ С=(А\С)È(В\С) (АÇВ)\С=(А\С)Ç(В\С) (А\ В)ÇС=(АÇС)\ (ВÇС) (А\ В)´С = (А´С) \ (В´С) С\ (АÇВ) =(С\ А) È (С\ В) С\ (АÈВ) = (С\ А) Ç (С\ В) | В Ë А, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | (АÈВ)´С =(А´С)È(В´С) (АÇВ)´С=(А´С)Ç(В´С) (А\ В)´С = (А´С)\ (В´С) | |||
Частные случаи | А ÈÆ = Æ È А = А А ÈА = А È А = А АÌВ, А È В = В | АÇ Æ =Æ Ç А = Æ АÇ А =А Ç А = А АÌВ, А Ç В = А | А\ Æ = А
Æ\ А = Æ
А\ А = Æ
АÌВ, А\ В = Æ
В\ А = ![]() | A ![]() ![]() |
Логические операции и их свойства
Операции | КОНЪЮНКЦИЯ | ДИЗЪЮНКЦИЯ | ОТРИЦАНИЕ | ИМПЛИКАЦИЯ | ЭКВИВАЛЕНЦИЯ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Логическая связка | …и … | …или… | Неверно, что… | Если…, то… | … тогда и только тогда, когда … | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Символ | Ù | Ù |
![]() | Þ | Û | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
над высказываниями: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение | Конъюнкцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «и», и истинное только когда истинны все составляющие его высказывания. | Дизъюнкцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «или», и истинное когда истинно хотя бы одно из составляющих его высказываний. | Отрицанием высказывания называется составное высказывание, полученное из элементарного высказывания при помощи логической связки «не», и истинное когда исходное высказывание ложно. | Импликацией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «если…, то… », и ложное только когда первое высказывание истинно, а второе высказывание – ложно. | Эквиваленцией высказываний называется составное высказывание, полученное из элементарных высказываний при помощи логической связки «..тогда и только тогда, когда..», и истинное когда составляющие его высказывания имеют одинаковое значение истинности. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблица истинности |
|
|
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
над высказывательными формами: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение | Конъюнкцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «и», и принимающая значение истины только когда становятся истинными высказываниями все составляющие его высказывательные формы. | Дизъюнкцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «или», и принимающая значение истины когда становится истинным высказыванием хотя бы одна из составляющих его высказывательных форм. | Отрицанием высказывательной формы называется составная высказывательная форма, полученная из элементарной при помощи логической связки «не», и принимающая значение истины когда исходная высказывательная форма становится ложным высказыванием. | Импликацией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки «если.., то..», и принимающая значение лжи только когда первая высказывательная форма становится истинным высказыванием, а вторая высказывательная форма –ложным высказыванием. | Эквиваленцией высказывательных форм называется составная высказывательная форма, полученная из элементарных при помощи логической связки ««..тогда и только тогда, когда..», и принимающая значение истины когда составляющие его высказывательные формы становятся высказываниями с одинаковым значением истинности | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Множество истинности |
![]()
ТАÙВ = ТА Ç ТВ |