Б) Основные характеристики.
Рассмотрим основные характеристики функции:
1) Функция называется четной, если для любого
выполняется условие
(
). График четной функции симметричен относительно оси
.
Функция называется нечетной, если для любого
выполняется условие
. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, – четная, т.к.
;
– нечетная, т.к.
, а
– функция общего вида (т.е. ни четная, ни нечетная).
2) Функция
называется возрастающей (неубывающей), если для любых
таких, что
выполняется неравенство
(
) (т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции). На график линия слева направо направлена снизу вверх.
Функция называется убывающей (невозрастающей), если для любых
таких, что
выполняется неравенство
(
) (т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции). График идет сверху вниз.
Эти функции называются монотонными (а возрастающие и убывающие – строго монотонными). Интервалы, в которых функция монотонная называются интервалами монотонности.
3) Функция
называется ограниченной, если существует такое число
, что для всех
выполняется неравенство
. Следовательно, график функции лежит между прямыми
и
.
4) Функция называется периодической, если существует такое число
, что для всех
(если
). При этом число
называется периодом функции. Периодическими будут также числа
(
); наименьшее положительное число, удовлетворяющее этому равенству считают основным периодом. График повторяет сам себя.
в) Обратная и сложная функции.
Пусть задана функция
с областью определения
и множеством значений
. Если любому значению
, принадлежащему
соответствует единственное значение
, то определена функция
с областью определения
и множеством значений
. Такая функция
называется обратной к функции
и записывается
. Про функции
и
говорят, что они являются взаимно обратными.
Например, для обратной функцией будет
.
Из определения обратной функции следует, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда соответствие между
и
взаимно однозначное, следовательно, любая строго монотонная функция имеет обратную (при этом если функция возрастает (убывает), то и обратная функция возрастает (убывает)). Заметим, что обратные функции изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться считать, что, как обычно, аргумент обозначается
, а зависимая переменная
, то обратная функция запишется в виде
, а графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов (т.к. если точка
принадлежит функции, то
принадлежит обратной функции, т.е. симметричны относительно прямой
).
Пусть функция определена на множестве
, а функция
в свою очередь на множестве
(причем для любого
, соответствующее значение
). Тогда на множестве
определена функция
, которая называется сложной функцией от
(или функцией от функции). Переменную
называют промежуточным аргументом.
Например, . Здесь
,
. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.