(1)Предисловие
Данные методические рекомендации предназначены для подготовки магистров по направлению 110800 Агроинженерия.
В современной науке и технике математические методы исследования и проектирования играют все большую роль. Общий курс математики является фундаментом инженерного образования. Внедрение вычислительной техники существенно расширяет возможности применения математики при решении конкретных задач. Темпы развития науки и техники делают невозможной подготовку специалистов, имеющих готовые рецепты для решения всех задач, с которыми им придется сталкиваться. В соответствии с ФГОС ВПО, область профессиональной деятельности магистров включает в себя эффективное использование и сервисное обслуживание сельскохозяйственной техники, машин и оборудования, средств электрификации и автоматизации технологических процессов при производстве, хранении и переработке продукции растениеводства и животноводства; разработку технических средств для технологической модернизации сельскохозяйственного производства.
Поэтому математическое образование инженера должно быть широким, общим, то есть мало специализированным, достаточно фундаментальным, иметь четко выраженнуюприкладную направленность, быть в известной мере индивидуализированным.
Фундаментальность математической подготовки включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, разумную точность формулировок математических свойств изучаемыхобъектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический язык.
Предметом изучения прикладной математики являются количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Главная особенность ее, как указывалось выше, состоит в том, что она является важнейшей составляющей фундаментальной подготовки инженера. При этом математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.
К каждому практическому занятию приведены основные теоретические сведения, решение типовых примеров и задач, задачи для самостоятельного решения с ответами. По каждому разделу предусмотрены зачетные работы в форме контрольной работы.
Практические занятия
Практическое занятие № 1
Тема: Понятие ряда Фурье. Сходимость ряда Фурье.
Основные вопросы: Периодические функции. Периодические процессы. Постановка задачи и определение ряда Фурье. Коэффициенты Фурье. Разложение в ряд Фурье 2-периодических функций. Теорема Дирихле.
Краткие теоретические сведения: При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются, целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.
Определение 1: Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:
(1)
где действительные числа 
называются коэффициентами ряда.
В отличии от степенного ряда в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1, х, х2,…, хn,… взяты тригонометрические функции
(2)
которые тоже хорошо изучены.
Система функций (2) называется основной тригонометрической системой. Любая частичная сумма ряда (1) 2 – периодична. Отсюда следует, что если ряд (1) сходится на отрезке [-; ], то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности частичных сумм, является периодической функцией с периодом Т=2. По этой причине тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодически функций, описывающих различные периодические процессы. Например процессы колебательных и вращательных движений различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.
Функция (2) обладает еще свойством ортогональности на отрезке [-; ]:
Далее:
, при kn.
Если k=n, то
Аналогично находим
Наконец 
Так как
при kn.
Если k=n, то 
.
Для тригонометрического ряда, как и для степенного ряда, можно установить условия разложения функций.
Теорема 1.Пусть 2 периодическая функция f(x) интегрируема на отрезке [-; ]. Тогда, если на отрезке [-; ] функция f(x) раскладывается в тригонометрический ряд
, (3)
который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно, а его коэффициенты находятся по формулам:
, 
, 
. (4)
Определение 2. Пусть f(x) – 2-периодическая функция, интегрируемая на отрезке [-; ]. Тогда числа аn, bn – называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд 
- рядом Фурье функции f(x).
Установим, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции.
Теорема 2.Пусть 2-периодическая функция f(x) и ее производная 
- непрерывные функции на отрезке [-; ] или же имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода. Тогда ряд Фурье функции f(x) сходится на всей числовой прямой, причем его сумма S(x)=f(x), если х – точка непрерывности функции f(x). Если х0 – точка разрыва f(x), то
,
где
.
Примеры решения задач
Пример1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f(х), заданную на отрезке [- ; ].
.
Решение: Данная функция удовлетворяет условиям теоремы 2 и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье.
По формулам (4) находим
.
Разложение для данной функции будет
Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва 
. В точках 
сумма ряда равна 
.•
Если функция f(x) 2-периодичная, то при вычислении ее коэффициентов Фурье интегрирование можно выполнять по любому отрезку длиной 2, например, на промежутке [0; 2].
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию 
с периодом Т = 2 на промежутке [0; 2].
Решение: график функции изображен на рисунке
| |||
| Рисунок 1 |
Эта функция на отрезке 
задается формулами: 
, 
и 
, 
. В то же время на 
гораздо проще она задается одной формулой . Поэтому, интегрируя по отрезку 
, получаем:
. 
Следовательно, 
Этот ряд дает задает функцию во всех точках, кроме точек разрыва 
.
В этих точках сумма ряда равна:
Порядок выполнения работы
1. Разложить в ряд Фурье функцию: 
,
и построить график суммы ряда Фурье.
2. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f (х), заданную на отрезке [- ; ]
.
3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f (х) = 2х+3, заданную на отрезке [- ; ]
4. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f (х), заданную на отрезке [- ; ]
.
Ответы: 1) 
.
2) 
. 3) 
.
4) 
Контрольные вопросы
Практическая работа № 2
Тема: «Ряд Фурье для четных и нечетных функций»
Основные вопросы: Понятие неполных тригонометрических рядов. Коэффициенты разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение функций, заданных на отрезке [а; а+2].
Краткие теоретические сведения: Если f(-x) = f(x), т. е. f(x) – функция четная, то 
и
и 
.
Если f(-x)= - f(x)т. е. f(x) – функция нечетная, то 
и
и 
Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при нахождении коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной.
Примеры решения задач
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию 
.
Решение. Рассмотрим 2-периодическую функцию, которая на [- ; ] задана формулой . Так как функция f(x) четная, то
, 
,
, интегрируем дважды по частям, получаем
, n=1, 2, 3,… .
Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид
Это равенство справедливо при любом 
, так как функция f(x) непрерывна на всей числовой оси. в частности, при 
имеем 
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=х, если 
.
Решение. График функции с ее периодическим продолжением изображен на рисунке:
 |
|
Рисунок 2
Заданная функция удовлетворяет условиясм Дирихле, поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. На промежетке 
функция f(x)=х – нечетная, поэтому аn = 0 и разложим функцию по синусам.
,
откуда 
, … .
получаем, что функцию f(x)=х можно представить в виде
или
.
Это равенство имеет место в точках непрерывности функции f(x), т. е. во всех внутренних точках 
. Вне этого промежутка этот ряд изображает периодическое продолжение данной функции.
В точках разрыва 
,… сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева в данных точках.
В точке 
и в 
. Найдем среднее арифметическое этих пределов:
.
Во всех точках разрыва получим то же значение, т. е. сумма ряда равна нулю.
Полученное разложение можно записать и в таком виде:
Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
Решение. В промежутке 
заданная функция – нечетная.
Такую функцию называют ступенчатой. Ее ряд Фурье содержит только синусы.
Найдем коэффициенты bn:
откуда 
… .
В итоге получаем
т. е.
В точках разрыва 
сумма ряда равна 
.
Точкой разрыва функциии является точка х=0. Учитывая условия теоремы Дирихле в этой точке сумма ряда равна нулю
Пример 4. разложите в ряд Фурье по косинусам периодическую функцию с периодом 
, заданную в промежутке 
слудующим образом:
Решение. Функция f(x) задана на промежутке 
, но так как ее надо разложить только по косинусам, то в промежутке 
функцию f(x) нужно доплнить ее четным продолжением.
Найдем коэффициенты а0 и аn .
,
.
Вычислим первый интеграл по частям, предположив, что 
, имеем
.
Вычислим второй интеграл:
.
Значит, 
,
откуда 
Подставив значения 
в формулу (1), получим
Порядок выполнения работы
1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию 
при 
.
2. В промежутке 
разложите в ряд Фурье по косинусам функции:
а) 
; б) 
в) 
г) 
Ответ: 1) 
2) а) 
.
б) 
.
в) 
г) 
Контрольные вопросы
1. По каким функциям разлагается в ряд Фурье четная (нечетная) функция.
Практическая работа № 3
Тема: «Ряд Фурье с произвольным периодом»
Основные вопросы: Коэффициенты разложения функции с произвольным периодом. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
Краткие теоретические сведения: Если функция f(x) в промежутке –l<x<l, где l - произвольное число (l>0), удовлетворяет условиям Дирихле, то ее разложение в ряд Фурье имеет вид
, (5)
где
, 
, 
.(6)
Ряд (6) представляет собой функцию с периодом 2l, т. е. f(x+2l)=f(x).
Если f(x) – нечетная функция, то ее ряд Фурье содержит только синусы:
, где 
. (7)
Если же f(x) – четная функция, то ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы:
, где 
, 
. (8)
Примеры решения задач
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке 
уравнением 
.
Решение. Данная функция является четной. Графиком функции служит дуга параболы, заключенная между точками (-1; 1) и (1; 1).
|
Рисунок 3
, 
.
Интегрируем по частям: 
; тогда
.
Снова интегрируем по частям: 
, откуда
.
Подставив это значение в 
в (5),получим
или 
.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f(х), заданную на отрезке [-1; 1].
 |
Рисунок 4
Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а поэтому разлагается в ряд Фурье, коэффициенты которого вычислим по известным формулам.
,
,
Ответ: 
.
Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) =x, на отрезке [-2; 2].
Рисунок 5
Решение.f(х) =x, непрерывная функция, удовлетворяющая условиям теоремы о разложимости, и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Она четная, поэтому разлагается в ряд Фурье только по косинусам, т. е. bn = 0.
Находим коэффициенты а0 и ап искомого ряда
,
Ответ: искомый ряд Фурье данной функции
.
Пример 4. Пусть требуется разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) с периодом Т=2, которая на отрезке [-1; 1] задается равенством f(х) =x.
 |
Рисунок 6
Решение. Так как рассматриваемая функция четная l=1, то 
, 
.
