Интерполяционный многочлен Лагранжа 2 страница

Следовательно разложение имеет вид

.

 

Порядок выполнения работы

1. Разложить в ряд Фурье функцию f(х)=х, заданную в промежутке .

2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) =x, на отрезке .

3. Разложите в ряд Фурье только по синусам функцию , заданную в промежутке .

4. .

5.

6.

7.

8.

 

Ответы: 1) .

2)

3) .

4)

5)

6)

7)

8)

Контрольные вопросы

1. Функция разложена в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 1]. Чему равна сумма ряда в точках ? Чему равен период суммы ряда?

 

Практическая работа № 4

 

Тема «Разложение в ряд Фурье непериодических функций»

Основные вопросы: Представление непериодической функции в ряд Фурье на любом конечном промежутке. Понятие суммы ряда во всех точках отрезка, в точке разрыва. Доопределение функции на отрезке, получение периодической функции( четным и нечетным образом).

Краткие теоретические сведения: Пусть функция f(x) задана на отрезке [a; b], причем функции f(x), непрерывны на [a; b] или имеют на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода. Покажем, что заданную функцию f(x) в точках ее непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

 
 

 

 


Рисунок 7

 

Для этого рассмотрим функцию f1(x) с периодом , совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a; b]. Разложим функцию f1(x) в ряд Фурье

Если , то f1(x)= f(x), следовательно,

 

.

Это и есть разложение в ряд Фурье функции f(x), заданной на отрезке [a; b].

Рассмотрим два частных случая.

1. Пусть функция f(x) задана на отрезке [0; l] . Доопределим так, чтобы при было f(x)= f(-x), в результате получится четная функция

.

В этом случае говорят, что функция f(x) продолжена четным образом

Разложим функцию g(x) на отрезке [-l; l] в ряд Фурье

где

Коэффициенты , так как g(х) – четная функция.

Если , то g(x) и f(x), следовательно,

2. Аналогично, продолжая f(x) нечетным образом, получим нечетную функцию

 

 


Рисунок 8

,

которая разлагается в ряд Фурье по синусам.

На отрезке [0; l]

где .

Таким образом, функцию f(x), заданную на отрезке [0; l], можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам.

Примеры решения задач

Пример 1. Пусть требуется разложить функцию f(x)= x на отрезке [0; 1] в ряд по косинусам.

Решение. Продолжим эту функцию четным образом, получим , . Разлагая ее в ряд, найдем

При будем иметь

Пример 2. Разложить функцию f(x)= x на отрезке [0; 1] в ряд Фурье по синусам.

Решение. Искомое разложение имеет вид ,

где . Так как l=1, а f(x)= x , то

.

следовательно,

Пример 3. Разложить в ряд Фурье 2l-периодическую функцию , на .Построить график суммы ряда.

Решение. Для вычисления коэффициентов Фурье воспользуемся формулами

, , , n=0, 1, 2, … .

Имеем: .

 

n=0, 1, 2, 3, … .

Аналогично находим

Подставляя найденные коэффициенты в формулу, получаем разложение функции f(x) в ряд Фурье:

Построим график суммы ряда. Сумма ряда S(x)имеем период Т=2l=4 и S(x)=f(x), т. е. для всех

Если ,

 


Рисунок 9

Порядок выполнения работы

  1. Разложите в ряд Фурье периодическую функцию, заданную в промежутке :

а) б)

в) г)

Ответ: а) .

б) .

в) .

г) .

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте правила разложения функций в ряд Фурье, заданных на промежутке [0; 2l].

Практическая работа № 5

Тема: «Комплексная форма рядов Фурье»

Основные вопросы: Разложение периодических кривых геометрически правильной формы и кривых произвольной (геометрически правильной) формы.

Краткие теоретические сведения: Пусть функция f (x) определена . Применяя формулы Эйлера , , .

Можно записать в ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения

, , .

Коэффициенты Сn называется комплексными коэффициентами Фурье.

Они определяются формулами

Если нужно построить продолжение функции f(x),имеющей произвольный период 2L,то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид

где, ,

Комплексная форма ряда Фурье алгебраически проще и более симметрична. Поэтому, она часто используется в физике и прикладных расчетах.

Примеры решения задач

Пример 1. Используя комплексную форму записи, найти разложение в ряд Фурье функции.

Решение: Вычислим коэффициент С0 и Сn ( ).

Если n=2k, то С2k=0

Если n= 2k-1, то

Следовательно, разложение в ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

Данный ряд можно преобразовать и записать в действительных переменных. Обозначим:

n = 2k-1, тогда

Контрольные вопросы

1. Выведите формулы для коэффициентов Фурье для функции комплексного переменного.

 

Практическая работа № 6

Тема: «Разложение функций в ряд Фурье

для анализа несинусоидальных напряжений и токов»

Основные вопросы: Разложение периодических кривых геометрически правильной формы и кривых произвольной (геометрически правильной) формы.

Краткие теоретические сведения: При изучении различных зависимостей в электических цепях с несинусоидальными токами применяют ряды Фурье. Переменный синосоидальный ток имеет период . Несинусоидальный ток разлагают в ряд Фурье вида

(9)

Формулы для нахождения коэффициентов ряда (9) получаются из формул:

, , ,

 

с помощью замены переменной и имеют вид:

, , . (10)

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока:

.

Решение:

 

 

Рисунок 10

Данная функция является четной, поэтому . По формулам (2) находим

Тогда , ,

Подставляя эти значения в (1), получим

или

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию

Решение. Выполним рисунок функции

 

 


Рисунок 11

 

Данная функция является нечетной, поэтому . По формулам (2) находим

при ,

при ,

при ,

при .

Пример 3. Разложите в ряд Фурье функцию .

Порядок выполнения работы

 

1. Разложите в ряд Фурье функцию однополупериодного выпрямленного синусоидального тока (рисунок 12 ).

 

Рисунок 12

2. Разложите в ряд Фурье функцию двухполупериодного выпрямленного синусоидального тока (рисунок 13).

 

 


Рисунок 13

 

Ответы: 1)

2)

Контрольные вопросы

1. Каковы основные свойства функций, образующих основную тригонометрическую систему?

2. Можно ли функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

3. Функция разложена в ряд Фурье на отрезке . Чему равна сумма ряда в точках х = 0, х = –?

4. По каким функциям разлагается в ряд Фурье четная (нечетная) функция?

5. Функция разложена в ряд Фурье по синусам на отрезке . Чему равна сумма ряда в точках ? Чему равен период суммы ряда?

6. Сформулируйте определение ряда и коэффициентов Фурье.

7. Сформулируйте теорему о сходимости ряда Фурье.

8. Запишите разложение функции с произвольным периодом в ряд Фурье.

Практическая работа № 7

Тема: «Погрешности приближенных значений чисел»

Основные вопросы: Абсолютная и относительные погрешности. Значащие и верные цифры. Действия над приближенными цифрами.

Краткие теоретические сведения:

Определение 1: Модуль разности между точным значением х и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного значения х и обозначается :

, .

Пример 1. Даны приближенные значения числа . Какое из этих трех приближений является лучшим?

Решение. Найдем абсолютную погрешность каждого числа

; ; .

Лучшим приближением числа х является .

Определение 2. Цифра m приближенного числа а называется верной в широком смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра m.

Определение 3. Цифра m приближенного числа а называется верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра m.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчетах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения, все цифры должны быть верными.

Цифры в записи приближенного числа, о которых не известно, являются ли они верными, называются сомнительными.

Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой.

Пример 2. Указать верные цифры ( в строгом смысле) следующего числа .

Решение. Начнем проверку

«1» относится к разряду десятки, , следовательно 1 – цифра верная;

«2» относится к разряду единиц, , следовательно 2 – цифра верная;

«3» относится к разряду десятых, , следовательно 3 – цифра неверная.

Таким образом число с точностью до 0,1.

Пример 3. Число округлить до первоговерного разряда.

Решение. Так как цифры «9» и «5» верные, то .

Определение 4: Относительной погрешностью приближеного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности этого приближения к числу а, т.е. .

Пример 4. Найти относительную погрешность числа 6,8, если обе цифры его верные.

Решение. По условию , поэтому .

Действия над приближенными числами

Функция Граница абсолютной погрешности Граница относительной погрешности

 

Примеры решения задач

Пример 5. Найдите относительную погрешность вычисления площади прямоугольника со сторонами и .

Решение. ,

Пример 6. С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы абсолютная погрешность площади круга не превышала ? Грубое приближенное значение R = 8,7 см.

Решение. Площадь круга равна . Абсолютная погрешность площади равна , . Следовательно, если измерить величину R с погрешностью, не превышающей 0,2 см, то погрешность площади не превысит .

Порядок выполнения работы

1. Найдите относительную погрешность равенства .

2. Число 8,75 найдено с относительной погрешностью 0,4%. Определите границу абсолютной погрешности.

3. Найдите относительную погрешность вычисления площади прямоугольника со сторонами и .

4. Найдите относительную погрешность вычисления объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями , и .