![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Данный метод используется чаще остальных при решении практических задач. Общая итерационная формула метода имеет видDyi= Абсолютная погрешность находится с помощью равенства |
Примеры решения задач Методом Эйлера проинтегрировать задачу Коши на отрезке
Решение: В точках При пересчете значений интегральной кривой с удвоенным шагом воспользуемся уже вычисленными значениями Результаты вычислений приводятся в следующей таблице:
Ответ:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Решение. Исходя из начальных значений x0=0, y0=0, рассчитаем значение y1 в узле x1=0,1 по формулам: Аналогично получим решение в остальных узлах. Продолжим вычисления и, введя обозначение
Решением задачи является табличная функция (оставлены 5 значащих цифр в каждом числе).
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Решение. Вычислим значения вспомогательных величин: Найдем приращение функции на первом интервале и значение функции в первом узле Аналогично получим решение в остальных узлах, результат занесем в таблицу:
Решение задачи является табличная функция – таблица 4.8 (оставлены 7 значимых цифр в каждом числе).
Порядок выполнения работы: Дано дифференциальное уравнение 1) метода Эйлера; 2) исправленного метола Эйлера; 3) метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности; 4) сравнить результаты, полученные в точке х = 0,2 , с точным решением (найти его самостоятельно), определить абсолютную и относительную погрешности каждого метода. Контрольные вопросы 1. Итерационная формула метода Эйлера. 2. Итерационная формула исправленного метода Эйлера. 3. Итерационная формула метода Рунге-Кутга четвертого порядка точности.
Практическое занятие № 18 Тема:«Численные методы решения систем линейных уравнений. Методы Гаусса» Основные вопросы:Способы определения расстояния в пространстве Rn . Абсолютная погрешность числового вектора и его координат. Сходимость последовательности векторов в Rn. Приведенная система уравнений, способы преобразования систем к приведенному виду. Построение итерационной последовательности. Достаточное условие сходимости итерационной последовательности. Оценка погрешности итерационного решения. Условие окончания итерационного процесса при нахождении решения с заданной точностью. Краткие теоретические сведения: При решении методом Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований превращается в верхнюю треугольную матрицу в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные. Пусть дана СЛАУ Выпишем расширенную матрицу системы:
Умножая ведущую строку на число и т.д. Умножая ведущую строку на число Сохраняя ведущую строку неизменной, получим в результате первого шага алгоритма Гаусса следующую матрицу: На втором шаге алгоритма Гаусса в качестве ведущего элемента выбирается элемент Сохраняя первую и вторую строки матрицы неизменными, получим в результате второго шага алгоритма Гаусса следующую матрицу: После (n-1)-го шага алгоритма Гаусса получаем следующую расширенную матрицу, содержащую верхнюю треугольную матрицу СЛАУ: Прямой ход алгоритма Гаусса завершен. В обратном ходе алгоритма Гаусса из последнего уравнения сразу определяется из последнего - Замечание 1. Если элементы какой-либо строки матрицы системы в результате преобразований стали равными нулю, а правая часть не равна нулю, то СЛАУ несовместна, поскольку не выполняются условия теоремы Кронекера-Капелли.
Замечание 2. Если элементы какой-либо строки матрицы системы и правая часть в результате преобразований стали равными нулю, то СЛАУ совместна, но имеет бесконечное множество решений, получающиеся с помощью метода Гаусса для СЛАУ порядка r, где r-ранг матрицы исходной СЛАУ. Замечание 3. В результате прямого хода метода Гаусса можно вычислить определитель матрицы А исходной СЛАУ: При этом с помощью множителя Замечание 4. Метод Гаусса можно применить для обращения невырожденной Действительно, пусть требуется обратить невырожденную матрицу Единичная матрица, и его основе записать цепочку СЛАУ каждую из которых можно решить методом Гаусса. При этом, поскольку верхняя треугольная матрица для всех СЛАУ будет одной и той же, прямой ход метода Гаусса применяется лишь один раз. Строится следующая расширенная матрица:
В результате применения (n-1)-го шага метода Гаусса получаем: При этом первый столбец Примеры решения задач: Методом Гаусса решить СЛАУ Решение. Прямой ход:
Обратный ход: Ответ: Порядок выполнения работы: Методом Гаусса решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для матрицы СЛАУ вычислить определитель и обратную матрицу. 1. 3. 5. 7. 9. Ответы
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |