Примеры решения некоторых типовых задач
Пример 1: Решить графически ЗЛП:
Решение:Сначала проведем оси: на горизонтальной будем откладывать значения переменной x1 , а на вертикальной x2 . Далее рассмотрим условия неотрицательности переменных 
.
| X1 | -2 | |
| X2 |
| X1 | ||
| X2 | -3 |
Рисунок 1. Иллюстрация решения задачи
Эти два ограничения показывают, что ОДР будет находиться в 1-ой четверти. Чтобы учесть оставшиеся ограничения, заменим неравенства на равенства, а затем на плоскости проведем эти прямые. Например, неравенство 
заменяем на равенство 
, которое проходит через точки (0; 2) и (-2; 0). Обозначим эту прямую 1 . Определим полуплоскость, выбрав контрольную точку (0; 0). Так как 
- верное неравенство, то точки полуплоскости, содержащей (0; 0) удовлетворяют первому ограничению. Аналогично рассматриваем оставшиеся ограничения. Получена область допустимых решений – многоугольник ABCDE. Строим вектор 
и линию уровня 
. Перемещаем линию уровня вдоль вектора до опорной прямой (обозначены пунктирными линиями). Эта прямая проходит через точки А и С, причем в точке А определяется Min Z, а в точке С - Max Z. Определим координаты точки A как пересечение прямой 3 и прямой x2=0:
Значит, 
Определим координаты точки С как пересечение прямых 2 и 4 :
Значит, 
Графическим методом решаются задачи линейного программирования, записанные в каноническом виде и удовлетворяющие условию 
, где n – число неизвестных системы ограничений; r – ранг системы векторов условий. Если уравнения системы ограничений линейно независимы, то ранг r равен числу уравнений системы m.
Пример 2. Предприятие изготавливает три вида продукции, при этом используется три вида сырья. Нормы расхода каждого сырья на 1 ед. продукции определенного вида приведены в таблице 5. Известны запасы этого сырья, а также прибыль, получаемая при реализации единицы продукции каждого вида.
Таблица 10. Нормы расходы сырья и получаемая прибыль
| А | В | С | Запасы сырья, ед. | |
| І | - | |||
| ІІ | ||||
| ІІІ | - | |||
| Прибыль, ден.ед. |
Сколько единиц продукции каждого вида следует выпускать предприятию для получения максимальной прибыли при условии, что сырье второго вида будет израсходовано полностью.
Решение:
1. Составим математическую модель задачи.
Обозначим через 
- количество выпускаемой продукции. Область допустимых решений имеет вид
Согласно условиям задачи предприятие должно получить максимальную прибыль, следовательно, целевая функция выразится формулой
2. Приведем задачу к каноническому виду
3. 
Выразим базисные переменные 
и целевую функцию через свободные переменные:
4. Найдем начальный опорный план задачи
5. Занесем коэффициенты целевой функции и системы ограничений в симплексную таблицу
Таблица 11. Исходная симплекс-таблица
| БП | СЧ | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | Q |
| х4 | |||||||
| х1 | |||||||
| х5 | |||||||
| Z | -1 | -2 |
В Z- строке есть отрицательные элементы. Следовательно, начальный опорный план не является оптимальным. Найдем минимальный отрицательный элемент Z- строки: (-2) в столбце «х3». За ведущий столбец выбираем «х3», значит, переменная х3 будет включена в базис.
Так как среди элементов ведущего столбца есть положительные, то существует новый опорный план, более близкий к оптимальному. Подсчитаем симплексные отношения (отношения свободных членов к соответствующим положительным элементам ведущего столбца) и найдем среди них минимальное: 
. Значит, 3-я строка является ведущей, а элемент а33 = 2 – разрешающим. Следовательно, переменная х5 выйдет из базиса.
6. Методом Жордана – Гаусса проведем одну итерацию замещения.
Таблица 12. Одно из оптимальных решений
| БП | СЧ | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | Q |
| х4 | ½ | -½ | |||||
| х1 | |||||||
| х3 | ½ | ½ | |||||
| Z |
Так как в Z- строке все элементы больше или равны нулю, то найден оптимальный план: 
.
Он не единственный, так как существует нулевой элемент Z- строки, соответствующий свободной переменной х2.
7. Найдем второе оптимальное решение. Столбец «х2» принимаем за ведущий и находим минимальное симплексное отношение: 
. Тогда вторая строка станет ведущей.
Таблица 13. Второе оптимальное решение
| БП | СЧ | х1 | х2 | х3 | х4 | х5 | Q |
| х4 | 3,5 | -½ | -½ | ||||
| х2 | ½ | ||||||
| х3 | 7,5 | -½ | ½ | ||||
| Z |
Из последней таблицы 13
Значит, следует выпускать 1 ед. продукции 2 типа, 7,5 ед. продукции 3 типа, а продукцию 1 типа не выпускать вообще, при этом будет достигнута наибольшая прибыль в размере 5 ден. ед. Переменные 
являлись вспомогательными и показывали остатки сырья І и ІІІ вида, значит сырье І типа останется в количестве 3,5 ед., а сырье ІІІ вида израсходуется полностью.
Приложение 1
№.1
| № 2
| №.3
|
№.4
| №.5
| №.6
|
№7
| №.8
| №9
|
№.10
| №.11
| №.12
|
№.13
| №14
| №.15
|
№16
| №.17
| №.18
|
№.19
| №20
| №.21
|
Приложение 2.
№1
| №2
| №3
|
№.4
| №.5
| №6
|
№7
| №.8
| №9
|
№.10
| №.11
|  №.12
|
№13
| №14
| №15
|
№16
| №17
| №18
|
№19
| №.20
| №21
|
| №22
| №23
| №24
|
| №25
| №.26
| №27
|
| №28
| №29
| №30
|
| №.31
| №.32
| №.33
|
| №34
| №35
| №36
|
| №37
| №38
| №39
|
| №.40
| №41
| №42
|
Рекомендованная литература
Основная
1. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическое программирование: Учебное пособие/Под общ. ред. А.В. Кузнецова и Р.А. Рутковского. 3-е изд., стер.–СПб.: Издательство "Лань", 2010.–448 с.:ил.–(Учебники для вузов. Специальная литература).
2. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование/ под общ. ред. А.В. Кузнецова: Учебник. 3-е изд., стер.–СПб.: Издательство "Лань", 2010.–352 с.:ил.–(Учебники для вузов. Специальная литература).
3. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов.-3-е изд. –М.: Юрайт-издат: Высшее образование, 2012.- Режим доступа: http:// http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=389717
Дополнительная
4. Математические методы и модели исследования операций: учебник для студентов, обучающихся по специальности 080116 "Математические методы в экономике" и другим экономическим специальностям/ под ред. В.А. Колемаева.-М.:ЮНИТИ-ДАНА, .-592 с.
5. Эконометрика [Электронный ресурс]: учебник для студентов вузов /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко; под ред. Н.Ш. Кремера. -–3-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.–328с.- Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=395801.
6. Практикум по эконометрике (+CD): учебное пособие /И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиеенко и др.; по ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп.–М.: Финансы и статистика, 2008.–344с.
7. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учебное пособие. — М.: Вузовский учебник: НИЦ ИНФА-М, 2014.-389 с.- Режим доступа: http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=424033.
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Методические указания
Составитель: Половченко Светлана Васильевна,
Колпакова Евгения Владимировна
Авторская верстка
Компьютерная верстка С.В. Половченко
_________________________________________________________________________________________
| Подписано в печать __.__.2017г. | Формат 60х84 1/16 | ||
| Бумага офсетная | Офсетная печать | ||
| Печ. л. _____ | Изд.№ ____ | ||
| Усл. печ. л. ____ | Тираж 30 экз. | ||
| Уч.-изд. л. ____ | Заказ № | ||