Краткие указания к выполнению задания
4.2.1. Прежде, чем приступить к выполнению задания, необходимо проработать соответствующие разделы лекций и рекомендуемой литературы [1 – 4].
4.2.2. Определить положение точки К на теле D в отрезке времени 
.
4.2.3. Записать выражение кинетического момента системы относительно оси вращения тела в этом отрезке времени, как функцию угловой скорости.
4.2.4. Изобразить внешние силы, действующие на систему в произвольный момент времени и определить главный момент внешних сил относительно оси вращения.
4.2.5. Записать дифференциальное уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси вращения тела, с учетом выражений полученных в п.п. 4.2.3 и 4.2.4.
4.2.6. Разделить в полученном уравнении переменные и проинтегрировать левую и правую его части.
4.2.7. Определить угловую скорость тела в момент времени t1.
4.2.8. Определить кинетический момент системы относительно оси вращения тела в момент времени t1.
4.2.9. Определить положение точки К на теле D в момент времени t2.
4.2.10. Изобразить внешние силы, действующие на систему в отрезке времени 
. Показать, что главный момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю.
4.2.11. Записать равенство, выражающее закон сохранения кинетического момента системы относительно оси вращения тела.
4.2.12. Определить относительную и переносную скорости точки в момент времени t2.
4.2.13. Записать выражение кинетического момента системы относительно оси вращения тела в момент времени t2.
4.2.14. Приравнять выражение кинетического момента системы относительно оси вращения тела в момент времени t2 его значению в момент времени t1.
4.2.15. Определить угловую скорость тела в момент времени t2.
Таблица 4.1
Варианты числовых значений параметров задания №3
| N Вар. | № подвар. |  ,
кг
| 
кг
|  сек-1
| a, м | b, м | R, м |  , град
| AМ, м | 
Нм
|  ,сек
|  ,
сек
|  м
|
| 1. | -1 | 1,5 | 1,2 | - | 
| 
| 
| ||||||
| -2 | 1,5 | 2,5 | |||||||||||
| 2,5 | 3,5 | ||||||||||||
| -3 | 0,5 | 1,5 | |||||||||||
| 2. | -2 | - | - | 
| 
| ||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 0,5 | 1,5 | ||||||||||||
| 3. | - | - | - | 
| 
| ||||||||
| -1 | |||||||||||||
| -2 | 1,5 | 3,5 | |||||||||||
| 0,5 | 2,5 |
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 4. | -3 | - | - | 0,4 | 
| 
| |||||||
| -2 | 1,5 | 5,5 | |||||||||||
| 0,5 | 4,5 | ||||||||||||
| -1 | 0,25 | 4,25 | |||||||||||
| 1,25 | 5,25 | ||||||||||||
| 5. | -1,5 | 1,5 | - | - | 
| 
| |||||||
| 1,5 | |||||||||||||
| -2 | |||||||||||||
| -2,5 | 2,5 | 4,5 | |||||||||||
| 2,5 | 0,5 | 2,5 | |||||||||||
| 6. | -1 | 1,5 | - | 2,5 | - | 
| 
| 
| |||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 7. | -2 | 1,6 | 0,8 | - | 
| 
| |||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 8. | 1,2 | - | - | 
| 
| 
| |||||||
| -5 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 0,5 | 4,5 | ||||||||||||
| -3 | 1,5 | 5,5 | |||||||||||
| 9. | 1,2 | - | 0,4 | 
|
| ||||||||
| -5 | |||||||||||||
| -6 | 1,5 | 2,5 | |||||||||||
| 0,5 | 1,5 | ||||||||||||
| -7 | 2,5 | 3,5 |
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 10. | 
| - | - | 
| 
| 
| |||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 11. | -1 | - | - | 
| 
| ||||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| 12. | -3 | - | - | 
| 
| ||||||||
| -2 | |||||||||||||
| -1 | |||||||||||||
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 13. | - | - | - | 0,5 | 
| 
| |||||||
| -4 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -2 | |||||||||||||
| 14. | - | - | - | 
|
| ||||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 15. | -4 | - | - |
| 
| 
| |||||||
| -3 | |||||||||||||
| -2 |
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 16. | -5 | 1,2 | - | 0,4 | 
| ||||||||
| -4 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| 17. | -2 | - | - | 1,6 | 0,6 | 
| 
| ||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 18. | 0,8 | - |
| 
| |||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| -5 |
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 19. | 1,5 | - | - | - | 
| 
| |||||||
| -1 | |||||||||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| 20. | - | 1,2 | - | 
| 
| 
| |||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| -5 | |||||||||||||
| 21. | -6 | - | - | - | 
| 
| 
| ||||||
| -5 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 22. | -1 | 1,6 | 1,2 | 0,6 | - |
| 
| ||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| 23. | 
| - | - |
| -210 | 
| |||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| 24. | -3 | 0,6 | - | - | 0,2 | 
| 
| ||||||
| -2 | |||||||||||||
| -1 | |||||||||||||
Продолжение табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 25. | -5 | - | - | 0,5 | - | 
| 
| ||||||
| -4 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| 26. | -4 | 1,5 | - | - |
| 
| 
| ||||||
| -3 | |||||||||||||
| -2 | |||||||||||||
| 27. | -5 | 0,6 | - | 0,6 | - | 
| 
| ||||||
| -4 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
Окончание табл. 4.1
| N Вар. | № подвар. | ,
кг
|
кг
| сек-1
| a, м | b, м | R, м | , град
| AМ, м |
Нм
| ,сек
| ,
сек
| м
|
| 28. | 1,6 | 1,2 | - | - | 0,8 | 680t | 
| ||||||
| -1 | |||||||||||||
| -2 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| 29. | - | - | - | 80t3 | 
| ||||||||
| -4 | |||||||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -2 | |||||||||||||
| 30. | - | - | 1,5 | 15t2 | 
| ||||||||
| -3 | |||||||||||||
| -4 | |||||||||||||
| -5 |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| Рис. 4.1 | |||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| Продолжение рис. 4.1 | |||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| Продолжение рис. 4.1 | |||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| Продолжение рис. 4.1 | |||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| Окончание рис.4.1 |
Таблица 4.2
Осевые моменты инерции однородных пластинок
| Форма пластинки | 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
Пример выполнения задания
4.3.1. Условие примера
Тело D, имеющее форму прямоугольной пластины, показанной на рис. 4.2, массой 
=20 кг вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью 
=2 с-1. При этом в точке M желоба AB тела D на расстоянии ÈAM= 
от точки A, отсчитываемом вдоль желоба, закреплена материальная точка K массой 
=8 кг. В момент времени 
на систему начинает действовать пара сил с моментом 
Нм. При t=t1=4 с действие пары сил прекращается; одновременно точка K начинает относительное движение по желобу согласно закону 
м.
Определить угловые скорости тела D соответственно в моменты времени 
и t=t2=5 с, если R=0,6 м, a=1,2 м; b=0,9 м
4.3.2. Решение примера
Запишем равенство, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы относительно оси z
, (4.1)
где 
- кинетический момент механической системы, состоящей в данном случае из кинетического момента тела D и кинетического момента точки К, относительно оси z;
- главный момент внешних сил, приложенных к системе, относительно оси z.
Рассмотрим движение системы в отрезке времени [0;t1].
В произвольный момент времени на систему действуют внешние силы 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
(рис. 4.3), главный момент которых относительно оси z равен вращающему моменту 
, то есть
. (4.2)
Кинетический момент данной системы равен сумме
,
где 
- кинетические моменты тела D и точки K относительно оси z.
Тело D вращается относительно неподвижной оси, поэтому
.
Здесь 
- угловая скорость тела, а 
- его момент инерции относительно оси z.
Момент инерции 
тела относительно оси 
, параллельной оси z и проходящей через центр масс О тела, определяется по формуле (табл. 4.2)
.
По теореме Штейнера
.
Таким образом
.
Кинетический момент материальной точки K, закрепленной в точке М желоба
.
Скорость точки К
.
Очевидно, что 
.
Согласно условию задачи длина дуги окружности 
, тогда центральный угол 
. Следовательно, в равнобедренном треугольнике ОМО1 
и 
.
Имеем
.
Окончательное выражение кинетического момента системы относительно оси z следующее
(4.3)
Подставляя выражения (4.2) и (4.3) в равенство (4.1), имеем
,
откуда
.
Разделяем в последнем уравнении переменные и интегрируем левую и правую части уравнения:
.
Тогда
с-1.
В момент времени t1 из выражения (4.3) имеем
Нмс.
Рассмотрим теперь движение системы в отрезке времени 
.
После прекращения действия момента на тело D, главный момент внешних сил относительно оси z 
(см. рис. 4.4).
Тогда равенство (4.1) примет вид
,
то есть 
.
Это означает, что кинетические моменты системы относительно оси в начале t1 и в конце t2 отрезка времени [t1; t2] равны
.
В момент времени t2 тело D вращается с угловой скоростью 
(см. рис. 4.4). При этом точка К, совершая сложное движение, оказывается в точке В желоба. Действительно, центральный угол
.
Кинетический момент системы 
относительно оси в конце t2 отрезка времени [t1; t2] также равен сумме кинетических моментов тела 
и точки 
:
.
Очевидно, что
По теореме о сложении скоростей:
,
где 
, 
, 
- абсолютная, относительная и переносная скорости точки.
Умножая обе части этого равенства на m2, получаем:
.
Следовательно, кинетический момент точки К в конце отрезка времени t2 равен сумме моментов векторов 
и 
относительно оси z
Относительная скорость точки К
.
При t=t2=5 c найдем величину относительной скорости точки К
м/с.
Переносная скорость точки К
.
Из прямоугольного треугольника О1ОВ по теореме Пифагора имеем:
.
Окончательно получаем
Тогда
Приравнивая 
и 
:
,
находим
с-1.
Задание №4. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Содержание задания
Механическая система, изображенная на рис. 5.1, приводится в движение из состояния покоя. При этом колесо В катится без скольжения по плоскости. Массы тел А, В и D ( 
, 
, 
), заданная нагрузка ( 
и 
) приведены в табл. 5.1. Радиусы колеса В и блока D соответственно равны 
м, 
м, 
м. Радиус инерции колеса В: 
м. Углы и 
имеют значения: 
, 
. Коэффициент трения качения колеса В равен 
; коэффициент трения скольжения тела А равен 
.
Используя теорему об изменении кинетической энергии системы, определить скорость и ускорение тела А после того, как оно переместится на расстояние 
м. Блок D считать однородным сплошным диском; силами сопротивления движению, трением в подшипниках, массой троса, его растяжением и проскальзыванием по ободу блока пренебречь.