Основные трансцендентные функции

Вычисление неопределенного интеграла
  Интеграл с переменным верхним пределом Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций Матрица Гессе
Несобственные интегралы первого и второго рода
  Определение первообразной и её свойстваСвойства несобственных интегралов первого и второго рода
Кратные интегралы
  Вычисление двойного и тройного интеграла Геометрические и физические приложения кратных интегралов
Первообразная и производная
  Определение первообразной и её свойства Частные производные Производная сложной функции
Формула замены переменного и интегрирование по частям в определённом интеграле
Определенные, криволинейные и поверхностные интегралы
  Свойства криволинейного интеграла первого и второго рода Таблица изображений некоторых функций
Функциональные и степенные ряды, сходимость ряда
  Критерий Коши необходимые и достаточные условия сходимости ряда Функциональные последовательности Разложение функций в степенные ряды Ряд Фурье для четных и нечетных функций
Решение дифференциального уравнения
  Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Метод Лагранжа

 

Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.

 

Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.

 

Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:

 

 

 

Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.

Также справедливы равенства:

 

 

Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.

 

Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсомназываются соответственно функции:

 

 

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

 

 

Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2pi, а функции th z и cth z – период pi.

 

Пример. Найти sin(1+2i).

 

 

 

 

Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.

Если w = u + iv, то и Arg ew = = v.

Тогда eu = .

 

Итого:

 

Для комплексного числа z = a + ib