Малые колебания
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.
Колебания широко распространены в природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе целых отраслей техники (например, электротехника, радиотехника и т.д.). Во многих случаях колебания играют негативную роль (колебания крыльев самолета, конструкции автомобиля и т.д.), что необходимо учитывать при их изготовлении.
В зависимости от физической природы процесса различают: механические и электромагнитные колебания.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.
Свободными или собственными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как система была выведена из положения равновесия.
Вынужденные колебания происходят под действием внешней периодически изменяющейся силы.
Автоколебания, как вынужденные колебания, сопровождаются внешним воздействием на систему, но моменты этого воздействия задаются самой системой, т.е. система сама управляет внешним воздействием.
При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит изменение какого-либо параметра системы (например, длины нити математического маятника).
Простейшими являются гармонические колебания, т.е. колебания при которых некоторая физическая величина изменяется по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний важен по двум причинам:
- колебания в природе и технике часто имеют характер близкий к гармоническому;
- периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.
Малые колебания.
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть задано с помощью одной величины, которую мы обозначим за «х».
В этом случае потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной «х», т.е. 
. Допустим, что система обладает положением устойчивого равновесия. В этом положении потенциальная энергия имеет минимальное значение. Условимся координату х и потенциальную энергию 
отсчитывать от положения равновесия, тогда 
.
Разложим функцию 
в ряд по степеням х, причем ограничимся рассмотрением малых колебаний, так что высшими степенями х можно пренебречь.
. 7.1
Так как 
,
то, введя обозначение 
, получим,
. 7.2
Коэффициент 
называется жесткостью и является характеристикой колеблющейся системы в целом.
Найдем силу, действующую на систему
. 7.3
Силы вида 
, независимо от их природы, получили название квазиупругих сил. Они всегда направлены к положению равновесия и пропорциональны смещению системы от положения равновесия.
Система, движущаяся под действием квазиупругой силы, называется одномерным гармоническим осциллятором.
Согласно второму закону Ньютона, в одномерном случае, получим 
. В случае гармонического осциллятора 
и тогда 
.
Если ввести обозначение 
, то последнее выражение можно преобразовать к виду
. 7.4
Это уравнение описывает движение одномерного гармонического осциллятора. Величина 
называется собственной частотой колебаний системы.
Рассмотрим некоторые примеры.
а) Пружинный маятник.
Пусть груз массой 
подвешен к пружине с жесткостью . В положении равновесия сила тяжести 
уравновешена силой упругости пружины 
(рис. 42), т.е. 
.
Направим ось Х вниз, а начало отсчета совместим с положением равновесия системы (рис. 42).
Тогда при смещении груза в положение, координата которого будет равна 
(рис. 42), на него будут действовать две силы – сила тяжести и сила упругости пружины 
. Равнодействующая этих сил 
.
Это означает, что равнодействующая сил тяжести и упругости пружины является квазиупругой силой и колебания груза, подвешенного к пружине, будут описываться уравнением вида .
б) Физический маятник.
Рассмотрим твердое тело, способное совершать колебания относительно оси, не совпадающей с центром масс, так называемый физический маятник (рис. 43).
При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент силы тяжести 
, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия (рис. 43). Подставляя в основное уравнение динамики вращательного движения 
, получим 
. Для малых колебаний 
и тогда полученное уравнение можно преобразовать к виду 
.
Разделив полученное уравнение на 
и, обозначив 
, получим уравнение 
, которое аналогично полученному ранее.
в) Математический маятник.