Теорема 11

Доказательство. Докажем, что x(n) = возрастает и ограничена сверху.

Члены x(n) меньше соответствующих членов x(n+1), к тому же в x(n+1) имеется на один член больше. Из этого следует, что x(n)<x(n+1). То есть x(n) возрастающая.

С другойстороны

Изэтогоследует, что существуети его обозначают е.

Утверждение. = е^-1.

Утверждение. = е^k.

Утверждение. Пусть . Тогда

В книге [2]: лекция 7, стр. 48-50.

6. В книге [2]: лекция 8, стр. 52-53.

7. В книге [2]: лекция 8, стр. 54.

8. В книге [2]: лекция 6, стр. 43-45; лекция 8, стр. 55.

9. В книге [2]: лекция 6, стр. 43-45; лекция 7, стр. 46-48.

Задачи

1. Пусть B – непустое ограниченное множество вещественных чисел, b = supB и bÏB. Доказать, что b является предельной точкой множества B.

2. Пусть {x_n} – бесконечно малая последовательность неотрицательных вещественных чисел. Доказать, что ∀m ∈ N ∃ бесконечно много номеров n ≥ m таких, что x_n£x_m.

3. Доказать, что если х > — 1, то справедливо неравенство (неравенство Бернулли)

(1 + x)ⁿ³ 1 + nх, n> 1,

причем знак равенства имеет место лишь при х = 0.

4. Доказать, что последовательность убывает и ограничена снизу. Следовательно, она имеют общий предел c .

3. Доказать, чтоlim_n→∞n^k/2ⁿ= 0, lim_n→∞n(a^1/n− 1) = lna, a> 0.

4. Пусть lim_n→∞x_n = +∞. Доказать, что lim_n→∞(x₁+···+x_n)/n= +∞.

5. Пусть ∀n∈Np_n> 0 и lim_n→∞p_n = p. Доказать, что lim_n→∞(p₁...p_n)^1/n= p.

6. Исходя из равенства = e, доказать, что lim_n→∞n/(n!)^1/n = e.

7. Доказать, что последовательность a_n = (1 + 1/n)^n+pстрого убывает тогда и только тогда, когда p≥ ½.

8. Доказать, что ∀r ∈ Q: |r| < 1 верны равенства 1+ r£e^r£ 1 + r/(1 - r).

9. Пусть {x_n} последовательность с ограниченным изменением, т.е. ∃c > 0: ∀n ∈ N верно неравенство <c. Доказать, что последовательность {x_n} сходится.

10. Пусть 0£x_m+n£x_m + x_n. Доказать, что ∃lim_n→∞x_n/n.

11. Верно ли, что

(a) _n→∞ (a_n + b_n) £ _n→∞a_n + _n→∞b_n, если последние пределы существуют;

(b) если lim_n→∞a_n = a и _n→∞b_n = b, то _n→∞a_nb_n = ab;

(c) _n→∞a_n = − _n→∞(−a_n).

12. Пусть lim_n→∞a_n = +∞. Доказать, что ∃min_n∈Na_n.

13. Пусть lim_n→∞a_n = a. Доказать, что последовательность {a_n} имеет либо наибольший, либонаименьшей элемент, либо и тот и другой.

14.Пустьs_n = a₁ + ··· + a_n → ∞,a_k> 0, lim_n→∞a_n = 0. Доказать, что множество предельных точек дробных частей {s_n} совпадает с отрезком [0;1].

15. Пусть lim_n→∞(s_n+1 − s_n) = 0 и не существует ни конечного, ни бесконечного предела lim_n→∞s_n,и пусть l = _n→∞s_n, L = _n→∞s_n. Доказать, что последовательность {s_n} расположена всюду плотно на отрезке [l; L].

16. (a) Пустьa_n> 0 и lim_n→∞a_n = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких, что a_n>max(a_n+1, a_n+2, ...).

(b) Пусть a_n> 0 и _n→∞a_n = 0. Доказать, что существует бесконечно много номеров n таких, что a_n<min(a₁, a₂,..., a_n−1).

• ⇐ Назад
1
234
Далее ⇒