Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции. Найдём дифференциал от произведения этих функций.

duv= udv + vdu

Отсюда, интегрируя, получаем

∫ duv = ∫ udv + ∫ vdu

uv = ∫ udv + ∫ vdu

Формула интегрирования по частям:

 

(9)

 

С помощью формулы интегрирования по частям вычисление интеграла ∫udv сводится к вычислению интеграла ∫vdu, если последний окажется проще исходного.

Полезно запомнить следующие типы интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям:

а) ; ;

u=P(x)

; ;

 

б) ; ;

; ;

dv=P(x)dx

 

в) ;

u=ex

;


Примеры:Используя формулу интегрирования по частям (9), найти интегралы:

       
 
u=lnx dv=dx du=1/x dx v=x
   
=
 


1.

 

=

 

           
   
  =
   
 

 


2.

 

 
 

 

6. Варианты для самостоятельной работы

Вариант 1 Найдите следующие интегралы     Вариант 2 Найдите следующие интегралы  

Вариант 3 Найдите следующие интегралы   Вариант 4 Найдите следующие интегралы   10) 11) 12)

 
Вариант 5 Найдите следующие интегралы Вариант 6 Найдите следующие интегралы  

 


7. Образец решения варианта 1

 

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. формула
12. формула


8. Тесты


 

1. Неопределенный интеграл равен

А.

Б.

В.

 

Г.

 

2. Первообразная для функции

y = x3 – 2 имеет вид

А. 3x2 + C

 

Б. 3x4 – 2 x + C

 

В. 6x4 - 2 + C

 

Г. x4/4 - 2x + C

 

3. 3 равен

 

А. 3 arctgx + C

 

Г.

В.

 

Г. -3 arctgx + C

 

4. ò7х dx равен

А. 7xln7 + C

 

Б.

 

В. x×7x-1 + C

Г. 7x-1 + x + C

 

5. Первообразная для функции y = 2x + ex имеет вид

 

А. хеx + С

 

Б. х2еx-1 + С

 

В. x2 + еx +С

 

Г. 2xex+1 + C

 

 

6. ò5sinx dx равен

А. -5сosx + C

 

Б. 5cosx + C

 

В. cos5x + C

 

Г. – cos5x + C

 

7. равен

А. ctg3x + C

 

Б.

 

В. 3ctg3x + C

 

Г.