Предел числовой последовательности
Пределы и непрерывность
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число an, то говорят, что задана числовая последовательность {an}:
.
Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: 
.
Числа 
называются членами последовательности, а число an – общим членом данной последовательности.
Примеры: 2,4,6,8,…,2n,…- монотонная, неограниченная.
1,0,1,0,… - немонотонная, ограниченная.
- немонотонная, ограниченная. Рассмотрим эту последовательность подробнее. Изобразим ее члены точками числовой оси.
Можно заметить, что члены последовательности с ростом n сколь угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности 
становится все меньше и меньше:
, 
, 
, 
,…, 
,…,
то есть с ростом n величина будет меньше любого сколь угодно малого положительного числа.
Определение. Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого сколь угодно малого положительного числа 
найдется такой номер N (зависящий от e), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство
.
Записывают это следующим образом: 
или an ® A при n®¥.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Геометрический смысл предела числовой последовательности состоит в том, что точки an, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (A-e, A+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.