Относительная флуктуация
. (1.10)
Если x случайным образом изменяется с течением времени, то относительная флуктуация показывает долю времени, в течение которой система находится в состоянии с 
.
Теорема: Относительная флуктуация аддитивной величины, характеризующей систему, уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем и для макроскопической системы она мала. Примером аддитивной величины (от лат. additivus – «прибавляемый») является энергия. Флуктуация энергии для макросистемы ничтожно мала, для микросистемы она существенна.
Доказательство
Аддитивная величина X для системы равна сумме значений xk для N независимых подсистем
.
По свойству 2 усреднения – среднее от суммы равно сумме средних
– пропорциональна числу подсистем.
Отклонение от среднего
,
дисперсия
.
При возведении в квадрат 
и усреднении результата для перекрестных произведений учтено свойство 3 усреднения – среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних
, 
,
и использовано, что среднее отклонение от среднего равно нулю
.
Не равными нулю остаются квадраты величин. В результате флуктуация
.
Относительная флуктуация
(П.1.11)
уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из числа независимых подсистем.
Производящая функция. Имеется случайная величина n, которая принимает дискретные значения в интервале 
. Вероятность получения результата n равна 
. Определяем производящую функцию
. (П.1.14)
Если известна производящая функция, то распределение вероятности получаем из (П.1.14)
, (П.1.15)
где использовано
Условие нормировки (1.6)
требует выполнения
. (П.1.16)
Для получения средних значений случайной величины дифференцируем (П.1.14)
,
и находим
. (П.1.17)
Двукратное дифференцирование (П.1.14)
дает
. (П.1.18)
Теорема о произведении производящих функций. Если происходят два независимых вида событий, которые описываются распределениями вероятностей с производящими функциями 
и 
, то распределение для суммы событий выражается произведением их производящих функций
. (П.1.19).
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНой
НЕПРЕРЫВНой ВЕЛИЧИНы
Случайной непрерывной величиной является, например, проекция скорости молекулы газа, хаотически меняющаяся благодаря столкновениям.
Плотность вероятности. Пусть случайная величина x принимает непрерывные значения в некотором интервале. Вероятность обнаружения x в единичном интервалеоколо выбранного значения называется плотностью вероятности результата
. (1.11)
Аналогично определение скорости 
, которая является перемещением за единицу времени.
Вероятность получения результата в интервале 
равна
.
Пример: Пусть 
– скорость частицы идеального газа. Частицы движутся хаотически и при столкновениях меняют свои скорости. Вероятность обнаружения частицы со скоростью в интервале 
равна
,
где
– концентрация частиц со скоростями в интервале шириной 
;
n – концентрация частиц со всеми скоростями;
плотность вероятности
– вероятность обнаружения частицы со скоростью в единичном интервале около значения v.
Условие нормировки для непрерывного распределения
. (1.12)