Обратимые и обратные отображения
Определение 1. Отображение 
: 
называется взаимнооднозначным соответствием или биекцией, если прообраз любого элемента 
состоит только из одного элемента 
. Равносильное условие: для любого уравнение 
имеет только одно решение 
.
Например, отображение 
является биективным.
Определение 2. Отображение : называется обратимым, если существует отображение 
: 
, такое, что
, 
,
где 
, 
,
, 
.
Отображение называется обратным к .
Теорема (равносильность условий биективности и обратимости). Отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.
Доказательство. Пусть отображение биективно, тогда прообраз любого элемента 
состоит только из одного элемента 
. Тем самым определено некоторое отображение 
: 
. Покажем, что , .
, т.е.
, т.е. .
Таким образом, отображение обратимо.
Обратно, пусть отображение - обратимо, т.е. существует отображение 
и , 
.
Применим к уравнению 
отображение :
или 
.
В силу обратимости отображения имеем
.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение и, следовательно, - биекция.
Отметим, что если : обратная к , то функция : является обратной к . Поэтому функции и называются взаимнообратными.
Примеры.
1. Рассмотрим 
, 
, где 
.
Для 
уравнение имеет единственное решение 
, поэтому обратимо и определяется равенством
.
2. Покажем, что отображение 
, 
не обратимо.
Действительно, 
уравнение 
имеет два решения 
, 
. Поэтому отображение 
не обратимо.
3. Отображение 
, не обратимо, так как 
уравнение не имеет решений.