Модуль 2 Элементы теории поля
2.1.В каждой точке поверхности , лежащей в первом октанте, уравнение которой
, распределена масса с плотностью
, где
. Вычислить массу пластинки.
Решение. Масса вычисляется по формуле . Имеем:
,
,
.
Следовательно, масса
кв. ед.
2.2.Вычислить по нижней стороне поверхности
, заданной уравнением
над областью
, ограниченной прямыми
.
Решение.
![]() | В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности ![]() ![]() ![]() |
2.3. С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл , где
– часть конической поверхности
, а
– направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.
Решение. Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности.
Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответствующую часть плоскости . Обозначив эту часть плоскости через
, по формуле Остроградского получаем:
.
Таким образом,
-
.
Для решения задачи необходимо вычислить интегралы, стоящие в правой части. В случае области
– косинусы углов с осями координат нормали к плоскости
, а именно:
. Поэтому
,
Так как на плоскости
и двойной интеграл равен площади круга радиуса
, получающегося при пересечении конуса плоскостью.
При вычислении интеграла по объему производим сначала интегрирование по
от
до
. Затем двойной интеграл по области
в плоскости
. Эта область является кругом
. Она получается проецированием объема
на плоскость
.
Таким образом,
.
Обозначая последний интеграл через и переходя к полярным координатам по формулам
,
находим
.
Итак, .
2.4.Вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне полусферы
Решение: Преобразуем уравнение поверхности к виду:
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
,
2.5 Найти объем шара
Решение: Найти объем шара можно по формуле:
2.6. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный интеграл
, где
– окружность
, пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси
.
Решение.
В нашем случае , поэтому
.
По формуле
![]() |
![]() |
, где
– часть плоскости
, ограниченная окружностью. Приводя уравнение окружности к нормальному виду, находим
.
Таким образом,
, где
– радиус круга, ограниченного указанной окружностью.
2.7. Найти частные производные функции
Решение.
2.8.Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Так как и
, то
и
. Смешанные производные
и
2.9. Найти производную скалярного поля по направлению кривой
от точки
к точке
в точке
.
![]() | Решение. Найдём единичный вектор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Запишем это уравнение в каноническом виде: . Вектор
- направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки
к точке
. Соответствующий ему единичный вектор
, т.е. его направляющие косинусы
,
.
Найдём теперь ,
, а тогда производная по направлению функции
в точке
по кривой
от точки
к точке
будет
,
.
2.10.Найти дивергенцию векторного поля
в точке
.
Решение. Вычислим частные производные в точке
.
,
,
.
Подставляя полученные значения в формулу
, получаем:
.
2.11. Найти поток векторного поля из тела, ограниченного координатными плоскостями
,
,
и плоскостью
наружу по теореме Остроградского и непосредственно .
![]() | Решение.
1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Поток векторного поля .
2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.
Имеем: , где
полная поверхность тела
, состоящая из четырёх частей:
; здесь
,
и
- направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;
,
,
;
.
Поток можно представить в виде суммы четырёх потоков:
. Вычислим каждый из потоков:
1. ,
, т.е.
,
,
,
.
Следовательно, , т.к.
есть поверхность
.
2. ,
, т.е.
,
,
.
Таким образом: . Здесь
,
:
, следовательно,
.
3. ,
, т.е.
,
,
,
, т.к. на поверхности
.
4. .
Поверхность имеет уравнение
, следовательно,
,
тогда . Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности
, значит направляющие косинусы нормали
будут равны:
.
Тогда получим
.
Окончательно: .
3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода .
В нашем случае , как и в предыдущем случае, поток
представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности
,
,
,
:
1. На
,
, а значит
.
2. На
,
. Сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя. Нормаль к поверхности образует тупой угол с осью Ох. Значит
3. На
,
, сторона поверхности нижняя и
.
4.
.
На
.
Следовательно,
.
9.25 Найти ротор поля .
Решение.
= .
2.12. Вычислить циркуляцию векторного поля
![]() | по линии пересечения конуса ![]() |
Решение.
1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур можно разбить на три части:
,
и
, лежащие в координатных плоскостях
,
и
соответственно, таким образом циркуляция Ц=Ц1+Ц2+Ц3 , где
Ц1= . На кривой
:
,
. Следовательно, Ц1=
. Далее
Ц2= . На кривой
:
, т.е.
Ц2= . И, наконец,
Ц3= . На кривой
:
,
,
,
, следовательно, Ц3=
.
Окончательно Ц=Ц1+Ц2+Ц3 = .
2) Вычисление циркуляции по теореме Стокса:
Ц= .
Подставим сюда , получим
Ц1= . Перейдём в правой части к поверхностному интегралу первого рода Ц=
, где интеграл вычисляется по верхней стороне поверхности
.
Уравнение поверхности :
, следовательно,
,
,
;
;
;
.
Подставляя найденные значения в выражение для циркуляции, получим
Ц= .
Перейдём к полярным координатам:
,
,
,
тогда
Ц= .
Вычислим внутренний интеграл:
Тогда Ц= .
2.13Найти , если
Решение: Найдем скалярное произведение:
Найдем скалярное произведение:
2.14Найти поток векторного поля через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости
координатными плоскостями.
Решение:
2.15Найти div(grad u), если
Решение:
2.16Определить является ли векторное поле
потенциальным и найти его потенциал.
Решение:
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля, справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле: