Дифференциал функции
Дифференциалом функции y=f(x), имеющей конечную производную , называется произведение её производной на приращение независимой переменной:
/
Примечания:
1. В отличие от производной, величина которой может принимать как большие, так и малые значения в точке х, величина дифференциала всегда является малой и пропорциональной (например, если
уменьшается вдвое, то dy уменьшается вдвое).
2. Очевидно, что если функция имеет конечную производную в точке х, то она имеет и дифференциал, именно поэтому мы называем функцию дифференцируемой.
3. Дифференциал функции f(x) зависит от двух переменных: точки дифференцирования х и приращения в точке х.
Если , то
, то есть дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением.
Поэтому
, то есть производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.
Пример 1.Найти дифференциал функции .
Решение. По формуле .
Основными свойствамидифференциала являются:
1) , где с – константа.
2) .
3) .
4) .
Геометрический смысл дифференциала.
Дифференциал функции равен приращению ординаты точки касательной к графику y=f(x), когда аргумент получает приращение
.
Приближённые вычисления значений функций.
Практическое значение дифференциала: нахождение дифференциала функции позволяет определить, насколько изменяется эта функция при небольших изменениях переменной, от которой она зависит.
При достаточно малых верна приближённая формула:
(*)
При этом приближенные равенства тем точнее, чем меньше , так как их погрешность есть величина более высокого порядка малости, чем
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Дифференциал функции. Стр. 1
Формулу (*) можно использовать для приближенного вычисления значения функции f(x) в "плохой" точке , если известно ее значение в близкой "хорошей" точке
.
Пример 2. Вычислить при помощи дифференциала.
Решение. Вводим функцию . Требуется вычислить
.
Найдем ближайшую "хорошую" точку, в которой f(x) легко вычислить: = 0, тогда
.
Переходу от к
соответствует приращение
.
Для применения формулы (*) найдем ,
.
В итоге получим .