Математическая обработка ряда равноточных измерений
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы. Практическое усвоение формул обработки равноточных измерений одной величины, усвоение методов определения наиболее точного или вероятного значения вымеренной величины, оценки точности равноточных измерений.
Номер варианта соответствует номеру в журнале.
Состав задачи. В результате повторных равноточных измерений величины Х получен ряд результатов.
х1, х2, ............хn ( m1 = m2 = .......= mn = m )
По результатам измерений надо вычислить наиболее надежное значение измеренной величины. Определить средние квадратические ошибки одного измерения и среднего арифметического, оценить точность их определения. Выполнить доверительное оценивание истинного значения измеренной величины, средних квадратических отклонений одного измерения и среднего значения при заданной доверительной вероятности β.
Порядок выполнения задачи.
1. Определяется наиболее надежное из ряда равноточных измерений как среднее арифметическое по формуле
, ( 1.1 )
где х i – измеренное значение.
Вместо формулы ( 1.1 ) используют более удобную формулу
. ( 1.2 )
Для этого из приведенного ряда выбирают условное (обычно наименьшее) значение x0 и вычисляют величину εі по формуле
ε i = х i - х о, ( 1.3 )
где х i – измеренное значение.
Чтобы не накапливать ошибки округления, среднее 
вычисляют с числом десятичных знаков хотя бы на два больше, чем в измеренных значениях х i. Потом округляют это значение, получая 
окр., где удерживают на один десятичный знак больше, чем в х і. Ошибка округления определяется по формуле
( 1.4 )
2.Вычисляют отклонение результатов измерений хі от среднего значения
( 1.5 )
и выполняют 1 контроль
( 1.6 )
3.Вычисляют 
с контролем ( 2 контроль )
( 1.7 )
4. Определяют средние квадратические ошибки.
а) среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя
; ( 1.8 )
б) среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического
; ( 1.9 )
в) среднюю квадратическую ошибку средней квадратичной ошибки
; ( 1.10 )
г) среднюю квадратическую ошибку средней квадратичной ошибки среднего арифметического
. ( 1.11 )
5.Определяют доверительные интервалы для
а) возможного значения истинной величины измеренного значения
( 1.12 )
где параметр tβ выбирают из таблиц распределения Сьюдента (например, приложение V в [ 1 ] ) по заданной доверительной вероятности β и числу степеней свободы k = n – 1;
б) среднего квадратического отклонения отдельного измерения
( 1.13 )
в)среднего квадратического отклонения среднего арифметического
( 1.14 )
где m и М средние квадратические ошибки вычислены по формулам ( 1.8 ) и ( 1.9 ). Коэффициенты γ1 и γ 2 вычисляют по формулам
( 1.15)
статистики 
и 
выбирают из таблиц распределения Пирсона по числу степеней свободы n – 1 по заданной доверительной вероятности β при
ρ2= ( 1- β )/2 и ρ1= 1 – ρ2 ( 1.16 ).
Можно γ1 и γ 2 сразу выбрать из таблиц (приложение VIII в [ l ] ).
Пример. Для исследования нового теодолита им выполнено измерение угла 12 раз. По результатам измерений выполнить обработку ряда равноточных измерений. Доверительные оценки получить с вероятностью 0,95.
Вычисления согласно приведенным выше формулам выполним в таблице 1.1.
Таблица 1.1
| № измерение. | Имеренный угол α | ε, сек. | v, сек. | ε2, сек.2 | v2, сек..2 | Контрольные вычисления |
| 154039'34,3" | 4,3 | -0,64 | 18,49 | 0,4096 | βо = - 0,002 | |
| 154039'33,6" | 3,6 | -1,34 | 12,96 | 1,7956 | 1 контроль | |
| 154039'37,7" | 7,7 | 2,76 | 59,29 | 7,6176 | 0,02 ≤ 0,024 | |
| 154039'33,2" | 3,2 | -1,74 | 10,24 | 3,0276 | 2 контроль | |
| 154039'33,4" | 3,4 | -1,54 | 11,56 | 2,3716 | 23,509 = 23,509 | |
| 154039'34,3" | 4,3 | -0,64 | 18,49 | 0,4096 | ||
| 154039'35,3" | 5,3 | 0,36 | 28,09 | 0,1296 | ||
| 154039'34,5 | 4,5 | -0,44 | 20,25 | 0,1936 | ||
| 154039'36,3" | 6,3 | 1,36 | 39,69 | 1,8496 | ||
| 154039'34,6" | 4,6 | -0,34 | 21,16 | 0,1156 | ||
| 154039'37,3" | 7,3 | 2,36 | 53,29 | 5,5696 | ||
| 154039'34,8" | 4,8 | -0,14 | 23,04 | 0,0196 | ||
| Σ | 4,3 | 0,02 | 316,55 | 23,509 |
Выбираем наименьшее значение х0 = 154039'30,0"
По формулам ( 1.2 – 1.11) вычисляем
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое округленное
Контроли 1 и 2 приведены в таблице 1.1.
Среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения по формуле Бесселя
Среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического
Среднюю квадратическую ошибку средней квадратической ошибки
Среднюю квадратическую ошибку средней квадратической ошибки среднего арифметического
Сравним значения средних квадратических ошибок m и M, и их средних квадратических ошибок mm и Мm. Из сравнения видно, что при вычислении средних квадратических ошибок достаточно оставлять две значащие цифры, при этом вторая цифра уже неточная.
Строим доверительные интервалы
- доверительный интервал для истинного значения измеренной величины:
Значение tβ найдем по доверительной вероятности β = 0,95 по числу степеней свободы k = 12―1 = 11 , в таблице распределения Сьюдента, например по приложению V в [ 1 ], tβ = 2,2.
154039'34, 942'' – 2,2*0,42≤ Х ≤ 154039'34, 942'' + 2,2*0,42 или
154039'34,02''≤ Х ≤ 154039'35,87''
б) среднего квадратического отклонения отдельного измерения
Значение . γ1 и γ 2 найдем за доверительной вероятностью β = 0,95 за числом степеней свободы k = 12―1 = 11 , из таблиц, например с приложению. VIII в [ l ] ), . γ1 = 0,708 и γ 2 =1,698.
1,5 * 0,708 ≤ σ ≤ 1,5 * 1,698 или
1,06″ ≤ σ ≤ 2,55 ″
в)среднего квадратического отклонения среднего арифметического
0,42 *0,708 
0,42*1,698 или
0,30″ 0,71″
Вывод :
Наиболее точным значением измеренной величины есть
Его средняя квадратическая ошибка составляет
Истинное значение вымеренной величины с вероятностью 0,95 принадлежит интервалу
154в39'34,02″≤ Х ≤ 154в39'35,87″
Средняя квадратическая ошибка измерения в приведенном ряде равна
m = 1,5″