Экономико-математические методы
Моделирование предполагает конструирование модели на основё предварительного изучёния объекта или процесса, выделения его существенных характеристик или признаков. Прогнозирование экономических и социальных процессов с использованием моделей включает разработку модели, ее экспериментальный анализ, сопоставление результатов прогнозных расчетов на основе модели с фактическими данными состояния объекта или процесса, корректировку и уточнение модели.
В зависимости от уровня управления экономическими и социальными процессами различают макроэкономические, межотраслевые, межрайонные отраслевые, региональные модели и модели микроуровня (модели развития фирмы).
По аспектам развития экономики выделяют модели прогнозирования воспроизводства основных фондов, трудовых ресурсов, цен и др. Существует ряд других признаков классификации моделей: временнёй, факторный, транспортный, производственный.
В современных условиях в республике развитию моделирования и практическому применению моделей стала придаваться особая значимость в связи с усилением роли прогнозирования и переходом к индикативному планированию.
Рассмотрим некоторые из наиболее разработанных экономико-математических моделей, получивших широкое применение в практике прогнозирования экономики за рубежом (особенно в США) и используемых (эпизодически) в странах СНГ.
К матричным моделям относятся модели межотраслевого баланса (МОБ): статические и динамические. Первые предназначены для проведения прогнозных макроэкономических расчетов на краткосрочный период (год, квартал, месяц), вторые — для расчетов развития экономики страны на перспективу. Они отражают процесс воспроизводства в динамике и обеспечивают увязку прогноза производства продукции (услуг) с инвестициями.
Статическая модель МОБ в системе баланса народного хозяйства имеет вид
где 
— коэффициенты прямых затрат (среднеотраслевые нормативы расхода продукции отрасли i, используемой в качестве средств производства для выпуска единицы продукции отрасли j); 
— объем производства продукции j-й отрасли-потребителя (j = 
); 
— валовое производство продукции (услуг) i-й отрасли-производителя (i = ); 
— объем конечного продукта i-й отрасли-производителя.
Выражение 
характеризует межотраслевые потоки и в целом промежуточный продукт; 
- конечный продукт; 
—валовой общественный продукт.
Упрощенная динамическая модель имеёт вид
где t — индекс года; 
— продукция отрасли i, направляемая в качестве производственных инвестиций в t-м году для расширения производства в отрасль j; 
— объем конечного продукта i-й отрасли в t-м году за исключением продукции, направляемой на расширение производства.
При переходе к Системе национальных счетов (СНС) модели межотраслевого баланса претерпевают некоторые изменения. Выражение 
характеризует промежуточное потребление в сферах материального производства и нематериальных
услуг; — конечное использование валового национального продукта (ВНП) по i-й отрасли, включающее конечное потребление (потребление домашних хозяйств и государственные расходы), валовое накопление и экспорт; валовой выпуск i-й отрасли.
Сформированный на основе моделей межотраслевой баланс может использоваться для решения многих задач: прогнозирования макроэкономических показателей, межотраслевых связей и потоков (поставок), структуры экономики, отраслевых издержек, динамики цен, показателей эффективности производства (материало-, энерго-, металло-, химико и фондоемкости).
Модели оптимального планирования используются для определения оптимального варианта функционирования экономики в целом и ее отдельных звеньев. Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание экономического процесса и состоит из целевой функции и системы ограничений. Целевая функция описывает цель оптимизации и представляет собой зависимость показателя, по которому ведется оптимизация, от независимых переменных. Влияние каждой из переменных на величину целевой функции выражается коэффициентом — значением показателя, экстремум которого используется в качестве критерия оптимальности. Система ограничений отражает объективные экономические связи и зависимости и представляет собой систему равенств и неравенств. На макроуровне критерием оптимальности является максимум валового национального продукта. На микроуровне в качестве критерия оптимальности могут быть использованы экстремумы показателей: максимум прибыли, минимум затрат, максимум выпуска продукции (услуг) и др.
Модели по расчету оптимального варианта производства продукции имеют следующий общий вид:
Целевая функция 
(i= 
)
Система ограничений 
(g= 
),
, (k= 
), 
где 
— значение i-го показателя на единицу j-го вида продукции; 
— норма расхода g-го вида сырья на производство единицы
j-го вида продукций; — искомое количество j-го вида продукции; 
— имеющийся фонд g-го вида сырья; 
— затраты времени на k-м виде оборудования для производства единицы j-го вида продукции; 
— действительный фонд времени работы k-го вида оборудования; 
— нижний и верхний пределы выпуска j-го вида продукции. Нижний предел устанавливается с учетом заданий на поставку продукции для государственных нужд, верхний — с учетом спроса на продукцию.
На макроуровне расчеты производятся в агрегированном виде. Система ограничений претерпевает некоторые изменения. В частности, вместо ограничения по фонду времени работы оборудования вводятся ограничения по фондоемкости или производственной мощности (на отраслевом уровне), развернутый ассортимент (конкретные виды продукции) заменяется групповым.
Следует отметить, что, несмотря на многообразие разработанных моделей и наличие пакетов программ для проведения многовариантных расчетов, оптимизационные задачи в республике носят, как правило, экспериментальный характер. Главными причинами, сдерживающими их внедрение в практику прогнозных и плановых расчетов как на макро-, таки на микро- уровне, являются: а) неадекватность разрабатываемых моделей реальным экономическим процессам; б) отсутствие специалистов-практиков, хорошо владеющих моделированием экономических и социальных процессов и методами оптимизации; г) проблема информационного обеспечения.
Экономико-статистические модели используются для установления количественной характеристики связи, зависимости и взаимообусловленности экономических показателей. Система такого рода моделей включает: одно-, много факторные и эконометрические модели. Примеры однофакторных моделей:
у=а+bх, у=а+b/х, у=a+b lg x и др.,
где у — значение прогнозируемого показателя; а — свободный член, определяющий положение начальной точки липки регрессии в системе координат; х — значение фактора; b — параметр характеризующий норму изменения у на единицу х.
Многофакторные модели позволяют одновременно учитывать воздействие нескольких факторов на уровень прогнозируемого показателя. При этом последний выступает как функция от факторов:
где х1, х2, х3, ..., 
— факторы.
При линейной зависимости многофакторные модели могут быть представлены следующим уравнением:
где а0 — свободный член; а1,а2, .., 
— коэффициенты регрессии, показывающие степень влияния соответствующего фактора на прогнозируемый показатель при фиксированном значении остальных факторов.
При нелинейной зависимости многофакторная модель может иметь вид
Многофакторные модели используются при прогнозировании макроэкономических показателей, показателей спроса на продукцию, себестоимости, цен, прибыли и др.
Эконометрической моделью называют систему регрессионных уравнений и тождеств, описывающих взаимосвязи и зависимости основных показателей развития экономики. Система экономико-математических моделей эконометрического типа служит для описания сложных социально-экономических процессов. Факторы (переменные) эконометрической модели подразделяются на экзогенные (внешние) и эндогенные (внутренние). Экзогенные переменные выбираются так, чтобы они оказывали влияние на моделируемую систему, а сами ее влиянию не подвергались. Они могут, вводиться в модель на основе экспертных оценок. Эндогенные переменные определяются путем решения стохастических и тождественных уравнений. Для каждой эндогенной переменной методом наименьших квадратов оценивается несколько вариантов регрессионных уравнений и выбирается лучший для включения в модель. Например, инвестиции производственного назначения зависят от суммы прибыли (эндогенный фактор) и индекса цен на инвестиционные товары (экзогенный фактор). Органичной частью. эконометрической модели может быть и межотраслевой баланс. Обычно количество уравнений модели равно количеству эндогенных переменных.
Эконометрические модели позволяют прогнозировать широкий круг показателей (ВНП, доходы населения, потребление
товаров и услуг и др.). В условиях автоматизации расчетов создается возможность разработки альтернативных вариантов развития экономики с учётом изменений внешних и внутренних условий (факторов). Следует отметить, что использование эконометрических моделей требует создания банков данных и подготовки высококвалифицированных специалистов по разработке и реализации этих моделей.
Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между ее элементами. Имитационные модели позволяют воспроизводить реальные процессы и предвидеть результаты различных действий. Например, имитационную модель оптимизационного процесса можно представить как систематическое изменение значений управляемых переменные с последующим получением результатов прогноза и их анализа.
Модели принятия решений основываются на теории игр и применяются в условиях неопределенности или в ситуациях, когда интересы сторон не совпадают. Каждая из сторон принимает такие решения, т.е. выбирает такую стратегию действий которая с их точки зрения обеспечивает наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Причем каждой из сторон ясно, что результат зависит не только от собственных действий, но и от действий партнеров. Например, противоборство конкурентов в процессе борьбы за рынок сбыта конкретного вида продукции.
Модели сетевого планирования применяются с целью сокращения сроков выполнения сложных проектов и других работ и оптимального использования предназначенных для этого ресурсов.
Термин “сетевое планирование” приобретает в последнее время большую популярность. Основой сетевого планирования служит изображение комплекса взаимосвязанных работ в виде графа, обычно именуемого сетевым графиком, стрелочной диаграммой, логической сетью или сетевой моделью. В сетевом графике отражается последовательность этапов планирования, необходимых для достижения заранее поставленной цели.
Примером сетевых методов планирования является метод ПЕРТ-время, или ПЕРТ-затраты.
Экономико-математические модели могут быть реализованы с помощью экономико-математических методов (ЭММ). ЭММ представляют собой способы (прием) расчета экономических показателей с применением методов прикладной математики и матёматической статистики. С помощью ЭММ
появляется возможность всестороннего обоснования изменения экономических показателей. Они позволяют повышать качество прогнозов, осуществлять многовариантные оптимизационные расчеты.
Среди важнейших экономико-математических методов, используемых в прогнозировании и планировании экономических и социальных процессов как в нашей стране, так и за рубежом, следует выделить: метод межотраслевого баланса, методы оптимизаций (симплекс-метод и др.), корреляционно-регрессионный метод.
Метод межотраслевого баланса базируется на принципах разработки межотраслевого баланса, которые были обоснованы специалистами бывшего СССР и развиты за рубежом (В. Леонтьевым в США). Использование метода на основе модели межотраслевого баланса позволяет осуществлять прогнозирование развития экономики и ее отраслевой структуры исходя из конечных потребностей (конечного использования ВНП).
Процесс разработки межотраслевого баланса подразделяётся на ряд последовательных этапов: 1) определение объема и отраслевой структуры конечного продукта (конечного использования ВНП) в прогнозируемом периоде; 2) разработка коэффициентов прямых материальных затрат по каждой отрасли на прогнозируемый период; 3) расчет коэффициентов полных затрат на производство единицы конечного продукта (конечного использования ВНП); 4) определение прогнозируемых объемов производства продукции по каждой отрасли исходя из коэффициентов полных затрат и намечаемых объемов конечного продукта (конечного использования ВНП); 5) формирование структуры выпуска продукции с выделением промежуточного потребления и конечного использования по каждой отрасли. В математической форме межотраслевой баланс представляет собой систему уравнений
Для решения системы уравнений составляется матрица коэффициентов прямых затрат и с помощью математических
преобразований формируется матрица коэффициентов полных затрат. Расчет производится на ЭВМ с помощью специальной программы обращения матрицы. Путем умножения матрицы коэффициентов полных затрат на матрицу (вектор) Y конечного продукта (конечного использования ВНП) рассчитывается объем производства продукции (услуг) по каждой отрасли. —
Затем на основе представленной выше системы уравнений производится расчет межотраслевых поставок, в целом промежуточного продукта и формируется таблица межотраслевого баланса, адекватная модели МОБ (см гл. 7).
В настоящее время проводятся исследования по совершенствованию методики разработки прогнозного межотраслевого баланса в системе национальных счетов.
К методам оптимизации относятся линейное (симплекс-метод) и целочисленное программирование. С помощью методов оптимизации создается возможность выбора оптимального варианта использования ресурсов и удовлетворения потребностей в продукции, размещений производительных сил, рационального прикрепления поставщиков к потребителям и решения других задач.
Оптимизационные расчеты осуществляются на основе разработанных экономико-математических моделей и исходной информации с использованием специальных пакетов программ и ЭВМ. Программно формируются матрица, в которой отражаются коэффициенты затрат, тип и вектор ограничений, а также коэффициенты целевой функции. С помощью методов оптимизации производится расчет, в процессе которого осуществляется выбор оптимального варианта в соответствии с целевой функцией в рамках установленных ограничений.
Результаты оптимизационных расчетов носят рекомендательный характер. Можно проводить множество расчетов, изменяя ограничения по ресурсам, спросу на продукцию в связи с изменяющимися условиями. Желаемых результатов можно достичь путем работы с ПЭВМ в диалоговом режиме.
Сущность корреляционно-регрессионного метода заключается в определении зависимости показателя от различных факторов. Этот метод предполагает установление наличия корреляционной связи между прогнозируемым показателем и влияющими на него факторами, определение формы связи, составление уравнения и осуществление прогноза на его основе. Форма связи характеризует изменение значений одного признака в зависимости от изменения другого. Она может
быть линейной и нелинейной и выражаться уравнениями, рассмотренными в § 5.3. Одновременно с установлением формы связи определяется теснота связи, которую характеризует коэффициент корреляции R.