Основные положения. В первой главе уже рассматривались пластины, имеющие постоянную толщину и опертые на прямоугольный контур
В первой главе уже рассматривались пластины, имеющие постоянную толщину и опертые на прямоугольный контур, один из размеров которого значительно больше другого. Такую пластину при действии на нее поперечной не изменяющейся вдоль длинной стороны нагрузки можно было считать гнущейся по цилиндрической поверхности; определение элементов изгиба пластины, как было показано выше, сводится к рассмотрению изгиба балки-полоски.
В этой главе рассматривается изгиб пластин постоянной толщины, опирающихся на прямоугольный контур (такого вида пластины чаще всего встречаются в корпусе судна), причем отношение сторон этого контура и нагрузка, действующая на пластину, могут быть произвольными. Очевидно, что такие пластины нельзя считать гнущимися по Цилиндрической Поверхности, и, следовательно, выводы, полученные в первой главе, не могут быть использованы для их расчета.
Расчет пластин, т. е. определение напряжений и перемещений, возникающих в них при действии различного вида внешних нагрузок, в общем случае Представляет Значительные математические трудности.
Однако для расчета пластин, имеющих относительно малую толщину, может быть использовано упрощающее допущение. Это допущение, носящее название гипотезы прямых нормалей (гипотезы Кирхгофа), существо которой будет изложено ниже, применимо к тонким пластинам. К ним можно отнести пластины, у которых отношение толщины к наименьшему размеру в плане не превосходит 1:5. Пластины, входящие в состав корпуса судна, удовлетворяют этому условию, и, следовательно, для их расчета может быть принята указанная гипотеза.
Не имея возможности подробно останавливаться на истории развития теории пластин, отметим только следующее.
Дифференциальное уравнение изгиба жестких пластин было выведено Софи Жермен и Лагранжем в 1811—1815 гг. еще до установления общих уравнений теории упругости. Оба автора исходили (что не вполне правильно) из возможности распространения на изгиб пластин выражения для потенциальной энергии изгиба стержня и получали дифференциальное уравнение вариационным путем.
В 1827—1828 гг. Коши и Пуассон почти одновременно, но независимо друг от друга, различными способами получили дифференциальное уравнение изгиба жестких пластин, исходя из дифференциальных уравнений равновесия теории упругости. Тогда же возник вопрос о характере и числе граничных условий, остававшийся неясным до появления в 1850 г. мемуара Кирхгофа. В указанном мемуаре Кирхгоф формулирует гипотезу прямых нормалей и выводит вариационным методом дифференциальное уравнение изгиба пластин и граничные условия.
В 1867 г. Томсон и Тэт показывают, каким образом можно перейти от трех граничных условий на совершенно свободной кромке к двум граничным условиям Кирхгофа, и оценивают возникающее при этом возмущение в распределении напряжений. Они вывели также дифференциальное уравнение изгиба пластин из условия равновесия усилий и моментов, приходящихся на единицу ширины сечения, как это принято делать в настоящее время.
Первое решение задачи об изгибе прямоугольных пластин было получено Навье, рассмотревшим пластину, свободно Опертую по всем четырем кромкам. Упругая поверхность пластины в решении Навье принимается в виде двойного тригонометрического ряда (см. § 9).
Предложенный М. Леви метод интегрирования дифференциального уравнения изгиба пластин при помощи ординарного тригонометрического ряда значительно расширил класс решаемых задач (см. § 10).
Большое число практически важных решений по изгибу пластин было получено И. Г. Бубновым, Б. Г. Галеркиным, П. Ф. Папковичем, Ю. А. Шиманским.
В основание указанных выше выводов общих зависимостей теории изгиба пластин положена предпосылка, что прогибы пластины малы по сравнению с ее толщиной, благодаря чему дифференциальные уравнения оказываются линейными.
Дифференциальные уравнения изгиба пластин, с учетом влияния усилий в срединной поверхности на изгиб (Сложный изгиб), были получены Сен-Венаном в его примечаниях к французскому переводу ,,Теории упругости” Клебша.
Если прогиб пластин соизмерим с их толщиной, указанные выше дифференциальные уравнения изгиба оказываются не- справедливыми, так как в этом случае в выражениях для деформаций нельзя ограничиваться линейными членами.
Система дифференциальных уравнений, описывающих изгиб пластин с конечными прогибами, была получена в 1909 г. Карманом. Следует отметить, что все основные положения этой теории были высказаны еще Кирхгофом.
Учет конечных прогибов усложняет расчет пластин, вследствие чего получены лишь приближенные решения для отдельных частных случаев в работах Н. М. Варвака, В. М. Даревского, Г. Г. Ростовцева, Б. И. Слепова и др.
Изложение теории изгиба пластин начнем с вывода системы дифференциальных уравнений Кармана, являющейся наиболее общей и позволяющей без труда получить дифференциальные уравнения изгиба пластин для различных частных случаев.
Составляя дифференциальные уравнения изгиба тонких пластин, будем придерживаться следующего порядка:
1) составим зависимость между деформациями и перемещениями для любой точки пластины; при определении перемещений точек воспользуемся гипотезой прямых нормалей, применение которой• возможно для рассматриваемых тонких пластин;
2) запишем зависимость между напряжениями и деформациями для того случая, когда имеются напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через данную точку тела (обобщенный закон Гука);
3) составим уравнение равновесия элемента, выделенного из пластины, с учетом усилий, действующих в срединной поверхности.
Используя обобщенный закон Гука, а также зависимость между деформациями и перемещениями, получим уравнения равновесия, выраженные через перемещения.