Потому что цепочка рассуждений (9) – (10) может продолжаться неограниченно

***************************************************

Таким образом, если

то целая бесконечная группа преобразований

имеет инвариантами коэффициенты квадратичной формы −px2 + (a−q)xy + by2

ЗАМЕЧАНИЕ 1:

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Наблюдая, за продолжением цепочки (9) – (10), можно увидеть, что группа «кратных» преобразований G содержит подгруппу «2-кратных», «3-кратных» и т.д. преобразований.

ЗАМЕЧАНИЕ 3: Поскольку преобразование с инвариантом всегда сопровождается группой порождённых им кратных преобразований, то мы, говоря определённо об одном преобразовании, будем представлять себе не всю группу, не какое-то произвольное преобразование из группы, но именно то линейное преобразование, которое (вместе со своим обратным и тождественным) конструирует всю группу G.

 

******************************************************************

У нас было: A ≡−p; B ≡½(a−q); C ≡b. (8)

и aq−bp=1. Теперьрассмотренную «игру в буковки» можно переформулировать так: каковы должны быть a,b,p,q, чтобы

коэффициенты КФAx2+2Bxy+Cy2 были инвариантны

Иными словами, теперь нужно a,b,p,q выразить через A, B и C.

Имеем

Значит, искомое преобразование должно иметь вид:

(11)

или

(12)

В результате этих преобразований

Ax2+2Bxy+Cy2 = Ax'2+2Bx'y'+Cy'2 (13)

ЗАМЕЧАНИЕ 1: Из (11) и (12), в частности, следует, что не любая КФ имеет линейное преобразование, оставляющее инвариантными её коэффициенты, но лишь та, у которой В2−АС+1 ≥ 0.(14)

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Было бы соблазнительно проверить, а не являются ли

преобразования (11) и (12) взаимно-обратными? К сожалению, это не так, и

(11)

и

уводят нас

в «зазеркалье»:

Конечно, при повторениии эти преобразования вернут нас из «зазеркалья», но это уже другая история.

ЗАМЕЧАНИЕ 3

Итак каждой КФ (13), то есть тройке чисел А, В иС, удовлетворяющих условию (14), соответствует ровно два линейных преобразования (11) и (12),однозначно определяемых параметрами

А, В иС.

Иными словами, и КФ, и преобразование при их однозначной (в каждой своей из двух ветвей) связи имеют три «степени свободы»

Ограничим теперь общность исследования рассмотрением случая В = 0.

На «идеи» это принципиально не повлияет, а вычисления заметно упростит.

Итак если (см.(14)) АС≤1, то преобразование (см. (12))

(15)

оставит инвариантными (неизменными) коэффициенты КФ

При этом теперь уже для каждой пары чисел А и С существуют

два однозначно определяемых по формулам (15) преобразования.

Рассмотрим одно из них:

(17)

Ещё раз отметим, что (16) и (17) имеют две степени свободы и

взаимно-однозначную зависимость. Если теперь мы ослабим условие (16)

и потребуем инвариантности от несколько другой КФ, а именно:

то для сохранения есть целая степень свободы в выборе преобразования (меньше ограничений – больше возможностей, разумеется, при прочих равных условиях). Рассмотрим по отдельности три возможных случая:

I. C = Ac2 II. A/C = 0III. C = −Ac2

__________________________________

I. ГЕОМЕТРИЯ ЕВКЛИДА

 

Подставив C = Ac2 в (18) и (17), убедимся, что КФ

(19)

инвариантна относительно всех преобразований вида

,

которые можно переписать так:

или так:

, (20)

где .

ВЫВОД: Преобразование (20), сохраняя инвариантной форму (19), представляет собой композицию деформации (вдоль оси x

в с раз) и поворота на угол . Инвариантность КФ, записанной в виде , утверждает сохранение расстояний.

 

II. ГЕОМЕТРИЯ ГАЛИЛЕЯ

Подставив в (17) A = 0, получим

преобразование Галилея:

,

которое мы привыкли видеть в несколько других обозначениях:

. (21)

Здесь одна (одномерная) система отсчётаК' движется вдоль другой, неподвижной системы отсчёта К со скоростью v .

Инвариантность КФ y2 = y' 2 т.е.

является непосредственным следствием второго уравнения (21)

и утверждает абсолютность времени (одинаковость хода часов во всех системах отсчёта).

_________________________________________

III. ГЕОМЕТРИЯ ЭЙНШТЕЙНА

Подставив C = −Ac2 в (17), получим для инвариантности КФ семейство преобразований

, (22)

зависящее от параметра А. Как правило, вместо параметра А вводят параметр v с помощью соотношения

. (23)

Выразим отсюда А:

 

 

 

 

(24)

 

Подставив теперь (23) и (24) в (22), получим:

 

(25)

Чтобы перейти к физическому истолкованию инвариантности КФ

и обеспечивающих эту инвариантность преобразований (25), перепишем их в общепринятом виде,

в котором они называются преобразованиями Лоренца:

 

(26)

которые интерпретируются следующим образом.

Подвижная система отсчёта К' (числовая ось x' с часами t' ) скользит вдоль неподвижной системы отсчёта К (числовая ось x с часами t ) с постоянной скоростью v. В подтверждение этого обратимся к первому уравнению из (26): чтобы x было нулём, то есть, чтобы быть неподвижным относительно К, находясь в К', надо в К' двигаться со скоростью x'/t'=−v.

 

Следующий момент: преобразования Лоренца возникли из требования инвариантности

КФ . (27)

Инвариантность (27) означает, в частности, что

 

,

 

то есть

(28)

иными словами, если существует нечто, распространяющееся волнообразно в обе стороны систем отсчёта с некоторой постоянной скоростью с, причём – скоростью, одинаковой для всех систем отсчёта, движущихся друг относительно друга с различными скоростями, то координаты и времена (относящиеся к двум системам отсчёта К' и К, движущихся друг относительно друга со скоростью v, если смотреть из К, и со скоростью «−v», если наблюдать из К') должны преобразовываться по Лоренцу, откуда , в частности, следует, что движения со скоростями v, большими с, запрещены, а сама скорость с является максимальной скоростью

распространения взаимодействий.