Поверхностный интеграл 1-го рода
Задача, приводящие к понятию поверхностного интеграла
Задача о массе поверхности. Требуется найти массу материальной поверхности , на которой распределена масса с плотностью
.
Разобьем поверхность сетью дуг на элементарных частей, площади каждой из которых равны
, а диаметр
. Выберем в каждой из них точку
, будем считать, что плотность каждой части постоянна и равна
. Тогда массу каждой элементарной части можно считать равной
. Сумма всех таких произведений приближенно выражает массу всей заданной материальной поверхности
. Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из диаметров областей
стремился к нулю.
Тогда массу материальной поверхности можно найти по формуле .
Понятие поверхностного интеграла
Пусть дана некоторая поверхность , в точках которой определена непрерывная функция
. Разобьем поверхность на
частей площадью
и с диаметром
. В каждой из частей выберем произвольную точку
. Составим сумму
. Будем увеличивать число точек разбиения таким образом, чтобы наибольший из диаметров частичных областей
стремился к нулю.
Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности
называется предел интегральной суммы
при
(
), независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек
. Обозначается
.
Теорема 1. Если поверхность гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция
непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует.
Основные свойства интеграла первого рода
Основные свойства поверхностного интеграла первого рода.
.
.
Следствие 1. Имеется в виду алгебраическая сумма функций.
Следствие 2. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.
Если поверхностьразбить на части
и
такие, что
,а пересечение
и
состоит лишь из границы, их разделяющей, то
.
Если на поверхностивыполняется неравенство
, то
.
.
.
(Теорема о среднем). Еслинепрерывна на
, то на ней существует точка
такая, что
.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть поверхность задана уравнением вида
, тогда поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:
,
где – проекция
на плоскость
.
Если поверхность задана
или
, то формулы принимают вид:
,
,
где и
– проекции
на плоскости
и
соответственно.
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Площадь поверхности. Пусть поверхность задана уравнением
, ее проекция на плоскость
есть область
. Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле
.
Масса поверхности. Плотность распределения массы поверхности задана функцией
. Масса поверхности вычисляется по формуле
.
Статистические моменты. Статистические моменты поверхности с плотностью
находятся по формулам
,
,
.
Координаты центра тяжести. Координаты центра тяжести поверхности с плотностью
находятся по формулам
,
,
.
Моменты инерции. Моменты инерции материальной поверхности с плотностью
находятся по формулам
,
,
,