Застосування функцій в економіці
Розділ 3. Вступ до математичного аналізу
Функціональна залежність.
Елементарні функції
Поняття функції
Стала величина – величина, яка зберігає одне і те саме числове значення.
Змінна величина – величина, яка може приймати різні числові значення.
Залежність змінної від змінної
, при якій кожному елементу
множини
відповідає єдиний елемент
множини
, називається функцією.
Позначення функції: ,
де - незалежна змінна (аргумент),
- залежна змінна (функція).
Множина (сукупність значень, які може приймати аргумент) називають областю визначення функції(позначають
а множину У – областю значень функції(позначають
При знаходженні області визначенняфункції потрібно враховуватинаступне:
- знаменник функції не повинен дорівнювати нулю;
- підкореневий вираз (у випадку кореня парного степеня) більший або рівний нулю;
- вираз, який стоїть під знаком функції логарифма, строго більше нуля;
- в основі логарифма – додатний вираз, що не дорівнює 1;
- область визначення функції
і
;
- під знаком функції
може стояти лише вираз, що не дорівнює
;
- під знаком функції
може стояти лише вираз, що не дорівнює
.
Приклад 3.1.Знайти область визначення функції .
Розв’язання
:
,
,
РИС. 12. .
Відповідь. .
Деякі елементарні функції та їх графіки.
Способи задання функцій
РИС.13.
РИС.14.
Основні властивості функцій
![]() |
Функція називається парною,якщо область її визначення
симетрична відносно початку координат ( коли
то і
) і для всіх
виконується рівність
![]() |
Функція називається непарною,якщо область її визначення
симетрична відносно початку координат і для всіх
використовується рівність
Графік парної функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної – відносно початку координат.
Якщо для функції не виконується ні умова
, ні
, то функцію вважають ні парною, ні непарною.
Приклад 3.2.Дослідити на парність (непарність) функцію
Розв’язання
Отже, функція є непарною.
Відповідь. Непарна.
![]() |
Функція називається періодичною з періодом
,якщо для будь-якого
виконується рівність
Найменше з таких називаються основним періодом функції
.
Якщо число є періодом функції
, то її періодом будуть також числа
де
![]() |
Якщо функція періодична з періодом
, то функція
також є періодичною і її період
де - постійні числа і
.
Приклад 3.3.Дослідити на періодичність функцію
Розв’язання
З рівності маємо
Функція не періодична.
Відповідь. Не періодична.
Приклад 3.4.Знайти основний період функції
Розв’язання
Найменший період функції дорівнює
.
Період функції знайдемо за формулою
Відповідь
Застосування функцій в економіці
Функція попиту –залежність попиту на товар від ціни
на нього:
![]() |
де - попит на товар,
- ціна товару.
Функція цін попиту (залежність ціни від попиту)
Графік функції попиту Графік функції цін попиту
РИС.15 РИС.16.
Сумарний виторг продавця – це добуток кількості проданого товару на ціну
одиниці продукції.
Функція сумарного виторгу – це залежність між сумарним виторгом і кількістю проданого товару: .
Функція пропозиції– залежність обсягу запропонованої продукції від ринкової ціни, тобто ціни від кількості
![]() |
де - обсяг пропозиції товару,
- ціна.
Функція ціни від пропозиції : .
Функція витрат –залежність між витратами на виробництво деякої пропозиції і обсягом виробництва цієї продукції.
Якщо - сумарні витрати виробництва
одиниць продукції, то функція сумарних витрат
![]() |
Зауваження. Функція - функція середніх витрат.
Взаємодія попиту і пропозиції на ринку проводить до рівноваги, при якій величини попиту і пропозиції рівні:
Функція доходу– залежність доходу від вартості виробленої продукції:
![]() |
де - дохід,
- ціна одиниці продукції:
Графік функції пропозиції Графік функції доходу
РИС.17 РИС.18