Простіше зразу шукати послідовні суми !
18. Діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в точці
, при цьому
,
. Які значення може набуваати довжина сторони
?
Відповідь: або
.
Розв’язання. З теореми Птолемея запишемо, що
,
звідки . Позначимо
,
, тоді з подібностей трикутників маємо:
та
. Тоді
, або
. З теореми синусів:
, звідки
. Тепер з теореми косинусів знаходимо, що
або
.
19.Знайдіть всі натуральні числа, взаємно прості с усіма членами нескінченної множини чисел:
Відповідь: .
Розв’язання.Покажемо, що
єдине таке число. Досить довести, що для кожного простого числа
існує деяке
таке, що
. Для
ми маємо, що
Тепер припустимо, що
. Спираючись на теорему Ферма, ми маємо:
, звідки випливає, що
.
Отже , що й треба було довести.
20.Деякий прямокутник розрізаний на непарну кількість однакових багатокутників (однакові – означає, що їх можна накласти один на інший, можливо з перегортанням). Чи обов’язково ці багатокутники – прямокутники?
Відповідь: не обов’язково, один з прикладів такого розрізання показаний на рис. 8.
21.Доведіть, що одиничний квадрат можна покрити деякими трьома множинами з діаметрами не менше ніж
, але не можна покрити ніякими множинами з діаметрами менше ніж
. (Діаметром множини називається відстань між двома найвіддаленішими точками цієї множини)
Розв’язання. Розглянемо три кола діаметром з центрами у точках
,
та
(рис. 9), тоді неважко переконатись, що вони покривають квадрат з вершинами у точках
.
Тепер друга частина задачі. Методом від супротивного, припустимо що одиничний квадрат повністю покритий трьома фігурами
з діаметрами меншими від
. Тоді принаймні дві вершини, наприклад,
покриваються однією множиною, наприклад,
, тоді з визначення діаметра множини інші дві вершини квадрату не покриті цією множиною.
Якщо
покриті однією множиною, наприклад,
, то розглянемо ребро
і
та їх середини відповідно точки
(рис. 10). Оскільки
, то точка
(аналогічно й
) можуть бути покриті лише множиною
. Але, оскільки для точки
– середини відрізку
маємо, що
, то вона не може бути покритою жодною з трьох множин
. Таким чином це припущення хибне.
Тому залишається варіант, коли точка , а точка
. Тоді точка
, що задовольняє умову
та
може бути покритою лише множиною
, бо
(рис. 11). Але для точки
, що є серединою
виконуються умови:
. Тому вона повинна покриватися лише множиною
, але з симетричних міркувань, вона нею покриватися не може. Твердження доведене.
22.На стороні трикутника
вибрані точки
та
, для яких виконуються такі умови:
та
. Доведіть, що
рівнобедрений.
Розв’язання. Оскільки
(однакові висоти та основи), то
. Тому
(рис. 12).
Аналогічно, оскільки , то
.
Якщо перемножимо останні дві рівності, маємо:
,
звідки й маємо шукану рівність: .
23.Знайдіть найбільше та найменше значення виразу
для дійсних чисел , що задовольняють умову:
.
Відповідь: найбільше , найменше
.
Розв’язання. Позначимо через , тоді можемо позначити невідомі таким чином:
,
,
,
. Тоді
,
де .
Внаслідок незалежності та
– ці змінні можуть приймати будь-які значення на проміжку
. Тоді зрозуміло, що найбільше значення:
,
при або
.
Аналогічно, найменше значення:
,
при та
або
та
.
24.Нехай – множина всіх функцій
таких, що
.
Знайдіть найбільше , таке, що для всіх
виконується умова:
.
Відповідь: .
Розв’язання. Функція .
Нехай . Далі
з умови маємо, що
.
Розглянемо послідовність ,
. З умови за індукцією легко бачимо, що
. Також за індукцією маємо, що
. Також
. Тому послідовність
зростаюча та обмежена. А тому існує
. Розв’язуючи рівняння
при умові
маємо, що
.
25. Від прямокутника
зі сторонами
та
відрізали прямокутний трикутник
, де
,
,
та
. Знайдіть максимальну площу прямокутника, сторони якого паралельні сторонам
, який можна вирізати з п’ятикутника, що залишився.
Відповідь: .
Розв’язання. Позначимо вершину шуканого прямокутника найбільшої площі, яка лежить на відрізку , через
(рис. 13). Очевидно, що така вершина існує, інакше неважко збільшити площу вирізаного прямокутника. Нехай відстань від
до сторін
та
відповідно через
та
. Тоді шукана площа дорівнює
. З подібності запишемо, що
. Тому
. Тоді
. Парабола гілками донизу, тому досягає максимуму в точці
, що належить до припустимих значень
. При цьому максимальна площа дорівнює
.