![]() |
![]() |
|||||||||||
Категории: АстрономияБиология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника |
Ряд, образованный геометрической прогрессиейНеобходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд
Теоремао необходимом условии сходимости ряда. Если ряд
Другая формулировка. Для того чтобы ряд сходился, необходимо (но недостаточно!), чтобы предел последовательности общих членов ряда был равен нулю.
Замечание.Иногда для краткости слово «последовательность» опускают и говорят: «предел общего члена ряда равен нулю». То же для последовательности частичных сумм («предел частичной суммы»). Доказательство теоремы. Представим общий член ряда в виде (1.10):
По условию ряд сходится, следовательно,
Замечание.Обратное утверждение неверно. Ряд, удовлетворяющий условию (1.11), не обязательно сходится. Поэтому условие, или признак (1.11) является необходимым, но не является достаточным признаком сходимости ряда. Пример 1. Гармонический ряд. Рассмотрим ряд
Этот ряд называется гармоническим, т.к. каждый его член, начиная со второго, является средним гармоническим соседних с ним членов:
Например:
Рис.1.3.1 Рис.1.3.2
Общий член гармонического ряда удовлетворяет необходимому условию сходимости ряда (1.11):
Следствие. Из необходимого условия сходимости ряда вытекает достаточный признак расходимости ряда: если Доказательство. Предположим противное, т.е. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд с общим членом Данный ряд имеет вид: Найдем предел общего члена ряда:
Ряд, образованный геометрической прогрессией
Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии. Напомним, что геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, не равное нулю и называемое знаменателем этой прогрессии. Геометрическая прогрессия имеет вид: а ряд, составленный из ее членов: Такой ряд называется геометрическим рядом, но иногда для краткости его называют просто геометрической прогрессией. Название «геометрическая» прогрессия получила потому, что каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов:
Теорема. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии
расходится при
Доказательство. Общий член ряда, как и общий член геометрической прогрессии, имеет вид: 1) Если 2) При При
При Таким образом, при
Следовательно, ряд (1.13) расходится. 3) Если
Найдём сумму ряда. Так как при
Таким образом, при
Это и есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Пример 1º.
![]() Оценим его сумму, т.е. попробуем определить, к чему стремится последовательность его частичных сумм. Видно, что последовательность частичных сумм стремится к числу 2 (рис.1.4.1). А теперь докажем это. Воспользуемся тем, что данный ряд - это ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, где
Пример 2º.
Вычисляется аналогично. Поскольку многие из членов ряда в отличие от предыдущего примера имеют знак минус, то сумма оказалась меньше.
Пример 3º. Это геометрический ряд, где
Свойства сходящихся рядов
Рассмотрим два сходящихся ряда:
1. Ряд, полученный почленным сложением (вычитанием) двух сходящихся рядов, также сходится, а его сумма равна алгебраической сумме исходных рядов, т.е.
Доказательство.Составим частичные суммы рядов (1.17) и (1.18):
Т.к. по условию данные ряды сходятся, существуют пределы этих частичных сумм:
Составим частичную сумму ряда (1.19) и найдём её предел:
Пример.
Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. из сходимости ряда, стоящего в левой части равенства (1.19), не следует сходимость рядов
Следовательно, ряд можно записать в виде:
Рассмотрим теперь отдельно ряды: Эти ряды расходятся, так как являются гармоническими рядами. Таким образом, из сходимости алгебраической суммы рядов не следует сходимость слагаемых.
2. Если все члены сходящегося ряда с суммой S умножить на одно и то же число с, то полученный ряд также будет сходиться и иметь сумму cS:
Доказательство аналогично первому свойству (доказать самостоятельно).
Пример. . Оба ряда сходятся, т.к. их суммы конечны. Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на постоянный множитель.
3. Теорема об отбрасывании нескольких первых членов ряда. Отбрасывание (или добавление) нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. Иными словами, если сходится ряд
то сходится и ряд
(но сумма может быть другой). И наоборот, если сходится ряд (1.22), то сходится и ряд (1.21).
Замечание 1. В математике термин «несколько» означает «конечное число», т.е. это может быть и 2, и 100, и 10100, и больше.
Замечание 2. Из данного свойства следует, что ряды с общими членами
4. Остаток ряда. Его свойство. Если у ряда отбросить первые k членов, то получится новый ряд, называемый остатком ряда после k-го члена.
Определение. k-м остатком ряда называется ряд
полученный отбрасыванием первых k членов исходного ряда. Индекс k означает, сколько первых членов ряда отброшено. Таким образом,
![]() ![]()
![]() ![]()
Тогда из (1.24) следует:
Получили, что остаток сходящегося ряда есть величина бесконечно малая при
Замечание.Теорему об отбрасывании нескольких членов ряда можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы его остаток стремился к нулю.
§1.6. Знакоположительные ряды
Рассмотрим ряд с неотрицательными членами
Согласно теореме Вейерштрасса любая монотонная ограниченная последовательность сходится (см. I семестр I курса). Исходя из этого, сформулируем общий критерий сходимости рядов с положительными членами.
Теорема(общий критерий сходимости знакоположительных рядов). Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм Напомним определение ограниченности последовательности: последовательность называется ограниченной, если существует М>0 такое, что для Доказательство. 1) Необходимость. Пусть ряд (1.26) сходится Þ последовательность частичных сумм имеет предел, т.е. сходится. По теореме об ограниченности сходящейся последовательности любая сходящаяся последовательность ограничена Þ 2) Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда (1.26) ограничена. Т.к. Ясно, что при неограниченном возрастании последовательности частичных сумм Общий критерий сходимости знакоположительных рядов позволяет установить достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Этими признаками являются: 1) признаки сравнения рядов; 2) признак Даламбера; 3) признаки Коши.
Первый признак сравнения Теорема о первом признаке сравнения. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
причем, начиная с некоторого номера n³N,выполняется неравенство
Тогда: 1) из сходимости ряда (1.28) следует сходимость ряда (1.27); 2) из расходимости ряда (1.27) следует расходимость ряда (1.28).
Доказательство. 1) Пусть 2) Пусть теперь ряд Признак сравнения применяется для исследования сходимости знакоположительных рядов, если известна сходимость какого-либо другого ряда, годного для сравнения с заданным рядом. Чаще всего сравнивают с геометрической прогрессией (сходится при Пример 1. Сравним данный ряд с бесконечной геометрической прогрессией:
Так как начиная с n=3 Пример 2. Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом Так как начиная с п=2 Замечание. Данный ряд является обобщенным гармоническим рядом, |