ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Д плоскости хОу. Разобьем область Д произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади S1 , S2 , ... , Sn и диаметры d1,d2, ..., dn (диаметром называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Pi(xi, yi) и составим следующую сумму:

.

Такая сумма называется интегральной суммой.

Определение:

Предел интегральной суммы при условии, что число элементарных областей n ® и наибольший диаметр max dk ® 0, называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области Д, если этот предел существует и не зависит :

1) ни от способа разбиения области Д на элементарные области;

2) ни от способа выбора в них точек Рi

.

Если f(x, y) > 0 в области Д, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y), сбоку - образующими параллельные оси Оz, а снизу - областью Д (лежащей на плоскости хОу).

Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

 

Существуют два основных вида области интегрирования:

1.Область интегрирования Д ограничена слева и справа прямыми х = а,

х = в (а < в), а снизу и сверху - непрерывными кривыми у = j1(х) и у =j2(х)

(j1(х) £ j2(х)), каждая из которых пересекается прямой, параллельной оси Оу, только в одной точке (рис. 1).

 

 

               
 
У
   
     
       
у = j(х)
 
 
 

 

 


               
     
у = j1(х)
 
     
Х
 
 
 

 

 


Рис. 1

 

       
 
   
Х
 

 

 


Рис. 2

 

Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному интегрированию

.

Интеграл называется внутренним. В нем х считается постоянной. Этот интеграл вычисляется в первую очередь. А потом вычисляется внешний интеграл по переменной х.

Для того, чтобы поставить пределы внутреннего интеграла, надо посмотреть на изменение у вдоль вектора от точки входа вектора в область Д (нижний предел) до точки выхода вектора из области Д (верхний предел). Пределы внешнего интеграла всегда постоянны и показывают пределы изменения переменной х.

2. Пусть область интегрирования Д ограничена снизу и сверху прямыми

у = с, у = d (с < d) , а слева и справа - непрерывными кривыми х = Y1(у), х = Y2(у) (Y1 (у) £ Y1 (у)), каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 2).

Тогда двойной интеграл по такой области вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, , в котором у считается постоянной.

ЗАДАЧА № 13

Вычислить повторные интегралы

1. ;2. .

1.

.

2.

ЗАДАЧА № 14

Вычислить следующие двойные интегралы по области Д, ограниченные линиями

1.; 2. .

1. ; .

           
 
 
   
   
 

 


.

 

2. ; ;

 

       
 
   
X
 

 


 

 


=
=

=

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ