Оцінка результату багаторазових вимірів
Короткі теоретичні відомості
Вступ і постановка задачі
Поява випадкових похибок обумовлена спільним впливом на засіб і об’єкт виміру випадкових факторів, між якими відсутній взаємний зв’язок. Ефект впливу кожного такого фактору настільки незначний, що обумовлені ним відхилення неможливо виділити і врахувати окремо.
Проте сумарний вплив цих факторів створює вже значні, помітні відхилення (похибки), що теж неперервно змінюються випадковим чином як по величині, так і за знаком.
На відміну від систематичних похибок, що завжди можуть бути в тій або іншій мірі виключені, компенсовані або враховані, випадкові похибки принципово не можуть бути усунені, їх не можна виключити в процесі вимірів, не можна врахувати за допомогою поправок у кожному з результатів вимірів.
Такого виду похибки оцінюються методами математичної статистики і теорії ймовірностей.
Оцінка результату багаторазових вимірів
Багаторазові виміри проводяться з метою визначення, а часто і зменшення випадкової складової похибки [1].
Припустимо, що зроблено n вимірів величини x, дійсне значення котрої дорівнює а. і при цьому отримані результати спостережень X1 ,Х2 Хj.......Хn„...
Виміри проводяться таким чином, що систематичні і грубі похибки виключені, а результати спостережені, рівномірні і незалежні один від одного.
Тоді величину X можна розглядати як випадкову із функцією розподілу ƒ(х), а можливі результати спостережень, як випадкові величини функцією розподілу, тобто
М(х) = M[x]; D(x) = D[x] (1.1)
В цих умовах в якості результату виміру природньо прийняти математичне очікування оцінкою якого є середньоарифметичне отриманих результатів спостережень
M(x) = 
. (1.2)
Отже, середньоарифметичне є найбільш достовірним значенням, що можна дати вимірюваній величині, і тому воно приймається в якості оцінки останньої.
Оскільки в якості оцінки дійсного значення вимірюваної величини береться середньоарифметичне результатів спостереження, то для оцінки випадкових похибок доцільно використовувати випадкові відхилення результатів спостереження від середньоарифметичного:
ΔХі = Хі-Х. (1.3)
В теорії ймовірностей доведено, що оцінка середньоквадратичного відхилення результатів спостереження виражається через випадкові відхилення (1.3):
(1.4)
де 
- центрована випадкова похибка. Ця оцінка характеризує ступінь розсіювання окремих спостережень щодо середньоарифметичного М(Х). Обчислення середньоарифметичного на практиці проводиться на основі обмеженого числа спостережень. Тому воно також є випадковою величиною, дисперсія якої дорівнює:
(1.5)
Отже, середньоквадратичне відхилення середньоарифметичного буде:
(1.6)
Таким чином, середньоквадратичне відхилення середньоарифметичного в 
разів менше середньоквадратичного відхилення результату спостереження.
Підставивши (1.6) в (1.5), одержимо:
(1.7)
Вираз (1.7) визначає оцінку середньоквадратичного відхилення середньоарифметичного результату виміру. З отриманого виразу випливає, що по мірі збільшення числа спостережень, середньоквадратичне відхилення результату виміру зменшується, і чим їх більше, тим ближче середньоарифметичне до істинного значення величини, що вимірюється.